Σύγκριση εκφράσεων με τον αριθμό e | Προσεγγίσεις και Ανάλυση

Σύγκριση δύο γνωστών εκφράσεων με τον αριθμό e

Ο αριθμός e αποτελεί έναν από τους θεμελιώδεις αριθμούς των μαθηματικών και εμφανίζεται φυσικά σε όρια, εκθετικές συναρτήσεις και άπειρες σειρές. Στην ανάρτηση αυτή συγκρίνουμε δύο χαρακτηριστικές εκφράσεις με τον αριθμό e και εξετάζουμε αν είναι μικρότερες ή μεγαλύτερες από αυτόν.

---

(α) Η παράσταση (1 + 1/1 000 000)^1 000 000

Είναι γνωστό το θεμελιώδες όριο:

\[ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \]

Για κάθε πεπερασμένη τιμή του n, ισχύει:

\[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n < e \]

Επομένως, για n = 1 000 000, η παράσταση αποτελεί μια εξαιρετική προσέγγιση του e, αλλά παραμένει αυστηρά μικρότερη από αυτόν.

Συμπέρασμα: Η παράσταση (α) είναι μικρότερη από το e.

---

(β) Το άθροισμα παραγοντικών

\[ \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{5!} + \frac{1}{6!} \]

Ο αριθμός e ορίζεται μέσω της άπειρης σειράς:

\[ e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \]

Το δοθέν άθροισμα είναι ένα μερικό άθροισμα της παραπάνω σειράς. Αριθμητικά, το άθροισμα μέχρι το 6! προσεγγίζει το e, αλλά δεν περιλαμβάνει όλους τους θετικούς όρους της σειράς.

Εφόσον όλοι οι επιπλέον όροι είναι θετικοί, το μερικό άθροισμα είναι αναγκαστικά μικρότερο από το e.

Συμπέρασμα: Η παράσταση (β) είναι επίσης μικρότερη από το e.

---

Τελικό συμπέρασμα

Και οι δύο εκφράσεις αποτελούν εξαιρετικές προσεγγίσεις του αριθμού e, όμως καμία δεν τον ξεπερνά. Το e λειτουργεί εδώ ως φυσικό όριο, στο οποίο οι εκφράσεις πλησιάζουν αλλά δεν φτάνουν.

📌 Τέτοιες συγκρίσεις αποκαλύπτουν γιατί ο αριθμός e κατέχει κεντρικό ρόλο στη μαθηματική ανάλυση και στα όρια.