.jpg)
🏃♂️ 2026 MATH MARATHON - PART 1
Inequalities Masterclass
Part 1: Θεμελιώδεις Ανισότητες - Τα Θεμέλια της Επιτυχίας
🎯 Καλωσορίσατε στο Math Marathon 2026!
Ξεκινάμε ένα συναρπαστικό ταξίδι στον κόσμο των ανισοτήτων. Αυτό το Part είναι το θεμέλιο πάνω στο οποίο θα χτίσουμε όλες τις προχωρημένες τεχνικές.
Τι θα μάθετε σήμερα:
✅ Τη δύναμη του τετραγώνου
✅ Την αλυσίδα HM-GM-AM-QM με πλήρεις αποδείξεις
✅ Weighted AM-GM
✅ Γεωμετρικές ερμηνείες
✅ 6 εφαρμογές από βασικά σε IMO-level
Ξεκινάμε ένα συναρπαστικό ταξίδι στον κόσμο των ανισοτήτων. Αυτό το Part είναι το θεμέλιο πάνω στο οποίο θα χτίσουμε όλες τις προχωρημένες τεχνικές.
Τι θα μάθετε σήμερα:
✅ Τη δύναμη του τετραγώνου
✅ Την αλυσίδα HM-GM-AM-QM με πλήρεις αποδείξεις
✅ Weighted AM-GM
✅ Γεωμετρικές ερμηνείες
✅ 6 εφαρμογές από βασικά σε IMO-level
🤔 Ερώτηση Προβληματισμού:
Γιατί οι ανισότητες είναι το "κλειδί" για την επίλυση τόσων πολλών προβλημάτων; Η απάντηση: Επειδή συγκρίνουν μεγέθη χωρίς να τα υπολογίζουν ακριβώς - αυτό είναι το μυστικό της δύναμής τους!
Γιατί οι ανισότητες είναι το "κλειδί" για την επίλυση τόσων πολλών προβλημάτων; Η απάντηση: Επειδή συγκρίνουν μεγέθη χωρίς να τα υπολογίζουν ακριβώς - αυτό είναι το μυστικό της δύναμής τους!
🔲 1. Η Δύναμη του Τετραγώνου - Η Απόλυτη Αρχή
📐 Θεμελιώδης Αρχή: Μη Αρνητικότητα Τετραγώνων
Για κάθε πραγματικό αριθμό \(x\):
Γενίκευση: Για οποιαδήποτε πραγματικά \(x_1, x_2, \ldots, x_n\):
Για κάθε πραγματικό αριθμό \(x\):
\[ x^2 \geq 0 \]
με ισότητα μόνο όταν \(x = 0\).Γενίκευση: Για οποιαδήποτε πραγματικά \(x_1, x_2, \ldots, x_n\):
\[ \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \geq 0 \]
με ισότητα μόνο όταν \(x_i = 0\) για κάθε \(i\).
🎯 Γιατί είναι σημαντική;
Αυτή η απλή παρατήρηση είναι η βάση για:
• Την ανισότητα Cauchy-Schwarz (Part 3)
• Τη "Βασίλισσα" \(a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca\) (Part 2)
• Αμέτρητες αποδείξεις με "completing the square"
Αυτή η απλή παρατήρηση είναι η βάση για:
• Την ανισότητα Cauchy-Schwarz (Part 3)
• Τη "Βασίλισσα" \(a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca\) (Part 2)
• Αμέτρητες αποδείξεις με "completing the square"
✍️ Κλασικές Εφαρμογές του Τετραγώνου
Εφαρμογή 1: Η βασική ανισότητα \(a^2 + b^2 \geq 2ab\)
Από το \((a-b)^2 \geq 0\):
\[ a^2 - 2ab + b^2 \geq 0 \]
\[ a^2 + b^2 \geq 2ab \]
Ισότητα όταν \(a = b\).
Από το \((a-b)^2 \geq 0\):
\[ a^2 - 2ab + b^2 \geq 0 \]
\[ a^2 + b^2 \geq 2ab \]
Ισότητα όταν \(a = b\).
Εφαρμογή 2: Η ανισότητα \((a+b)^2 \geq 4ab\)
Από το \((a-b)^2 \geq 0\):
\[ a^2 - 2ab + b^2 \geq 0 \]
\[ a^2 + 2ab + b^2 \geq 4ab \]
\[ (a+b)^2 \geq 4ab \]
Ισότητα όταν \(a = b\).
Από το \((a-b)^2 \geq 0\):
\[ a^2 - 2ab + b^2 \geq 0 \]
\[ a^2 + 2ab + b^2 \geq 4ab \]
\[ (a+b)^2 \geq 4ab \]
Ισότητα όταν \(a = b\).
Εφαρμογή 3: Για τρεις μεταβλητές
\[ (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \geq 0 \]
Ανοίγοντας:
\[ 2(a^2+b^2+c^2) - 2(ab+bc+ca) \geq 0 \]
\[ a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca \]
Αυτή είναι η "Βασίλισσα" που θα δούμε στο Part 2!
\[ (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \geq 0 \]
Ανοίγοντας:
\[ 2(a^2+b^2+c^2) - 2(ab+bc+ca) \geq 0 \]
\[ a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca \]
Αυτή είναι η "Βασίλισσα" που θα δούμε στο Part 2!
📊 2. Η Αλυσίδα των Μέσων - HM-GM-AM-QM
📐 Θεώρημα: Ανισότητα Μέσων Όρων
Για θετικούς αριθμούς \(a_1, a_2, \ldots, a_n\), ορίζουμε:
Η Θεμελιώδης Ανισότητα:
Για θετικούς αριθμούς \(a_1, a_2, \ldots, a_n\), ορίζουμε:
| Μέσος | Σύμβολο | Τύπος |
|---|---|---|
| Αρμονικός (HM) | H | \(\frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}}\) |
| Γεωμετρικός (GM) | G | \(\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdots a_n}\) |
| Αριθμητικός (AM) | A | \(\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}\) |
| Τετραγωνικός (QM) | Q | \(\sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}{n}}\) |
\[ \text{HM} \leq \text{GM} \leq \text{AM} \leq \text{QM} \]
με ισότητα μόνο όταν \(a_1 = a_2 = \cdots = a_n\).
📊 Επαλήθευση με Αριθμούς:
Για \(a = 4\) και \(b = 9\):
• HM: \(\frac{2}{\frac{1}{4} + \frac{1}{9}} = \frac{2 \cdot 36}{13} \approx 5.54\)
• GM: \(\sqrt{4 \cdot 9} = 6\)
• AM: \(\frac{4 + 9}{2} = 6.5\)
• QM: \(\sqrt{\frac{16 + 81}{2}} = \sqrt{48.5} \approx 6.96\)
Παρατηρήστε: \(5.54 < 6 < 6.5 < 6.96\) ✓
Για \(a = 4\) και \(b = 9\):
• HM: \(\frac{2}{\frac{1}{4} + \frac{1}{9}} = \frac{2 \cdot 36}{13} \approx 5.54\)
• GM: \(\sqrt{4 \cdot 9} = 6\)
• AM: \(\frac{4 + 9}{2} = 6.5\)
• QM: \(\sqrt{\frac{16 + 81}{2}} = \sqrt{48.5} \approx 6.96\)
Παρατηρήστε: \(5.54 < 6 < 6.5 < 6.96\) ✓
🔬 Αποδείξεις των Βασικών Ανισοτήτων
✍️ Απόδειξη 1: AM-GM (Η Πιο Σημαντική!)
Θεώρημα: Για θετικούς \(a_1, a_2, \ldots, a_n\):
Θεώρημα: Για θετικούς \(a_1, a_2, \ldots, a_n\):
\[ \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdots a_n} \]
Μέθοδος 1: Με Επαγωγή (Για n = δύναμη του 2)
Βάση (n=2):
Πρέπει να δείξουμε \(\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}\).
Από το \((\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0\):
\[ a - 2\sqrt{ab} + b \geq 0 \]
\[ a + b \geq 2\sqrt{ab} \]
\[ \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \quad \checkmark \]
Πρέπει να δείξουμε \(\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}\).
Από το \((\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0\):
\[ a - 2\sqrt{ab} + b \geq 0 \]
\[ a + b \geq 2\sqrt{ab} \]
\[ \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \quad \checkmark \]
Επαγωγικό Βήμα:
Υποθέτουμε ότι ισχύει για \(n\), δείχνουμε για \(2n\).
Έχουμε:
\[ \frac{a_1 + \cdots + a_n + a_{n+1} + \cdots + a_{2n}}{2n} \]
Εφαρμόζουμε την υπόθεση επαγωγής στις δύο ομάδες:
\[ = \frac{1}{2}\left(\frac{a_1 + \cdots + a_n}{n} + \frac{a_{n+1} + \cdots + a_{2n}}{n}\right) \]
\[ \geq \frac{1}{2}\left(\sqrt[n]{a_1 \cdots a_n} + \sqrt[n]{a_{n+1} \cdots a_{2n}}\right) \]
Από AM-GM για \(n=2\):
\[ \geq \sqrt{\sqrt[n]{a_1 \cdots a_n} \cdot \sqrt[n]{a_{n+1} \cdots a_{2n}}} = \sqrt[2n]{a_1 \cdots a_{2n}} \quad \checkmark \]
Μέθοδος 2: Με Συμπλήρωση προς τη Μονάδα (Πιο Γενική)Υποθέτουμε ότι ισχύει για \(n\), δείχνουμε για \(2n\).
Έχουμε:
\[ \frac{a_1 + \cdots + a_n + a_{n+1} + \cdots + a_{2n}}{2n} \]
Εφαρμόζουμε την υπόθεση επαγωγής στις δύο ομάδες:
\[ = \frac{1}{2}\left(\frac{a_1 + \cdots + a_n}{n} + \frac{a_{n+1} + \cdots + a_{2n}}{n}\right) \]
\[ \geq \frac{1}{2}\left(\sqrt[n]{a_1 \cdots a_n} + \sqrt[n]{a_{n+1} \cdots a_{2n}}\right) \]
Από AM-GM για \(n=2\):
\[ \geq \sqrt{\sqrt[n]{a_1 \cdots a_n} \cdot \sqrt[n]{a_{n+1} \cdots a_{2n}}} = \sqrt[2n]{a_1 \cdots a_{2n}} \quad \checkmark \]
Θέτουμε \(G = \sqrt[n]{a_1 \cdots a_n}\) και \(x_i = \frac{a_i}{G}\).
Τότε \(x_1 \cdots x_n = 1\) και πρέπει να δείξουμε:
\[ x_1 + \cdots + x_n \geq n \]
Θεωρούμε τη συνάρτηση \(f(x) = x - \ln(x) - 1\) για \(x > 0\).
Έχουμε \(f'(x) = 1 - \frac{1}{x}\), άρα ελάχιστο στο \(x=1\) με \(f(1) = 0\).
Επομένως \(x - \ln(x) - 1 \geq 0\), δηλαδή \(x \geq \ln(x) + 1\).
Αθροίζοντας για \(i=1,\ldots,n\):
\[ \sum x_i \geq \sum \ln(x_i) + n = \ln(x_1 \cdots x_n) + n = 0 + n = n \quad \checkmark \]
Τότε \(x_1 \cdots x_n = 1\) και πρέπει να δείξουμε:
\[ x_1 + \cdots + x_n \geq n \]
Θεωρούμε τη συνάρτηση \(f(x) = x - \ln(x) - 1\) για \(x > 0\).
Έχουμε \(f'(x) = 1 - \frac{1}{x}\), άρα ελάχιστο στο \(x=1\) με \(f(1) = 0\).
Επομένως \(x - \ln(x) - 1 \geq 0\), δηλαδή \(x \geq \ln(x) + 1\).
Αθροίζοντας για \(i=1,\ldots,n\):
\[ \sum x_i \geq \sum \ln(x_i) + n = \ln(x_1 \cdots x_n) + n = 0 + n = n \quad \checkmark \]
✍️ Απόδειξη 2: QM-AM
Θεώρημα: Για οποιαδήποτε πραγματικά \(a_1, \ldots, a_n\):
Θεώρημα: Για οποιαδήποτε πραγματικά \(a_1, \ldots, a_n\):
\[ \sqrt{\frac{a_1^2 + \cdots + a_n^2}{n}} \geq \frac{a_1 + \cdots + a_n}{n} \]
Απόδειξη:
Από Cauchy-Schwarz (θα το δούμε στο Part 3):
\[ (a_1 + \cdots + a_n)^2 \leq n(a_1^2 + \cdots + a_n^2) \]
Διαιρώντας με \(n^2\) και παίρνοντας ρίζες:
\[ \frac{a_1 + \cdots + a_n}{n} \leq \sqrt{\frac{a_1^2 + \cdots + a_n^2}{n}} \quad \checkmark \]
Εναλλακτική Απόδειξη (με τετράγωνα):Από Cauchy-Schwarz (θα το δούμε στο Part 3):
\[ (a_1 + \cdots + a_n)^2 \leq n(a_1^2 + \cdots + a_n^2) \]
Διαιρώντας με \(n^2\) και παίρνοντας ρίζες:
\[ \frac{a_1 + \cdots + a_n}{n} \leq \sqrt{\frac{a_1^2 + \cdots + a_n^2}{n}} \quad \checkmark \]
Θέτουμε \(A = \frac{a_1 + \cdots + a_n}{n}\). Πρέπει να δείξουμε:
\[ a_1^2 + \cdots + a_n^2 \geq nA^2 \]
Έχουμε:
\[ \sum (a_i - A)^2 \geq 0 \]
\[ \sum (a_i^2 - 2a_iA + A^2) \geq 0 \]
\[ \sum a_i^2 - 2A\sum a_i + nA^2 \geq 0 \]
\[ \sum a_i^2 - 2A \cdot nA + nA^2 \geq 0 \]
\[ \sum a_i^2 \geq nA^2 \quad \checkmark \]
\[ a_1^2 + \cdots + a_n^2 \geq nA^2 \]
Έχουμε:
\[ \sum (a_i - A)^2 \geq 0 \]
\[ \sum (a_i^2 - 2a_iA + A^2) \geq 0 \]
\[ \sum a_i^2 - 2A\sum a_i + nA^2 \geq 0 \]
\[ \sum a_i^2 - 2A \cdot nA + nA^2 \geq 0 \]
\[ \sum a_i^2 \geq nA^2 \quad \checkmark \]
✍️ Απόδειξη 3: GM-HM
Θεώρημα: Για θετικούς \(a_1, \ldots, a_n\):
Θεώρημα: Για θετικούς \(a_1, \ldots, a_n\):
\[ \sqrt[n]{a_1 \cdots a_n} \geq \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \cdots + \frac{1}{a_n}} \]
Απόδειξη:
Εφαρμόζουμε AM-GM στους αριθμούς \(\frac{1}{a_1}, \ldots, \frac{1}{a_n}\):
\[ \frac{\frac{1}{a_1} + \cdots + \frac{1}{a_n}}{n} \geq \sqrt[n]{\frac{1}{a_1} \cdots \frac{1}{a_n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a_1 \cdots a_n}} \]
Παίρνοντας αντίστροφα:
\[ \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \cdots + \frac{1}{a_n}} \leq \sqrt[n]{a_1 \cdots a_n} \quad \checkmark \]
Εφαρμόζουμε AM-GM στους αριθμούς \(\frac{1}{a_1}, \ldots, \frac{1}{a_n}\):
\[ \frac{\frac{1}{a_1} + \cdots + \frac{1}{a_n}}{n} \geq \sqrt[n]{\frac{1}{a_1} \cdots \frac{1}{a_n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a_1 \cdots a_n}} \]
Παίρνοντας αντίστροφα:
\[ \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \cdots + \frac{1}{a_n}} \leq \sqrt[n]{a_1 \cdots a_n} \quad \checkmark \]
🎨 Γεωμετρική Ερμηνεία του AM-GM
📐 Γεωμετρική Ερμηνεία (για n=2)
Θεωρείστε ορθογώνιο με πλευρές \(a\) και \(b\).
• Εμβαδόν: \(ab\)
• Ημιπερίμετρος: \(a+b\)
Το AM-GM λέει:
Μεταξύ όλων των ορθογωνίων με δοσμένη περίμετρο, το τετράγωνο έχει το μέγιστο εμβαδόν!
Αντίστοιχα: Μεταξύ όλων των ορθογωνίων με δοσμένο εμβαδόν, το τετράγωνο έχει την ελάχιστη περίμετρο!
Θεωρείστε ορθογώνιο με πλευρές \(a\) και \(b\).
• Εμβαδόν: \(ab\)
• Ημιπερίμετρος: \(a+b\)
Το AM-GM λέει:
\[ \text{(Μέση πλευρά)}^2 \geq \text{Εμβαδόν} \]
\[ \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \geq ab \]
Γεωμετρική σημασία:\[ \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \geq ab \]
Μεταξύ όλων των ορθογωνίων με δοσμένη περίμετρο, το τετράγωνο έχει το μέγιστο εμβαδόν!
Αντίστοιχα: Μεταξύ όλων των ορθογωνίων με δοσμένο εμβαδόν, το τετράγωνο έχει την ελάχιστη περίμετρο!
🎯 Σύνδεση με Βελτιστοποίηση:
Αυτή είναι η γεωμετρική βάση για προβλήματα μέγιστου-ελάχιστου!
Αυτή είναι η γεωμετρική βάση για προβλήματα μέγιστου-ελάχιστου!
⚖️ 3. Weighted AM-GM - Η Γενίκευση
📐 Θεώρημα: Weighted AM-GM
Για θετικούς αριθμούς \(a_1, \ldots, a_n\) και θετικά βάρη \(w_1, \ldots, w_n\) με \(\sum w_i = 1\):
Για θετικούς αριθμούς \(a_1, \ldots, a_n\) και θετικά βάρη \(w_1, \ldots, w_n\) με \(\sum w_i = 1\):
\[ w_1a_1 + w_2a_2 + \cdots + w_na_n \geq a_1^{w_1} \cdot a_2^{w_2} \cdots a_n^{w_n} \]
Ειδική περίπτωση: Για \(w_i = \frac{1}{n}\), παίρνουμε το κλασικό AM-GM.
💡 Πότε χρησιμοποιείται;
Όταν οι μεταβλητές δεν "συνεισφέρουν" εξίσου - π.χ. σε προβλήματα με διαφορετικές αναλογίες!
Όταν οι μεταβλητές δεν "συνεισφέρουν" εξίσου - π.χ. σε προβλήματα με διαφορετικές αναλογίες!
🔹 Παράδειγμα Weighted AM-GM
Πρόβλημα: Για θετικούς \(x, y\), βρείτε το ελάχιστο του \(2x + 3y\) αν \(x^2y^3 = 32\).
Λύση:
Λύση:
Εφαρμόζουμε Weighted AM-GM με βάρη \(\frac{2}{5}\) και \(\frac{3}{5}\):
\[ \frac{2}{5}(2x) + \frac{3}{5}(3y) \geq (2x)^{2/5} \cdot (3y)^{3/5} \]
\[ \frac{4x + 9y}{5} \geq 2^{2/5} \cdot 3^{3/5} \cdot x^{2/5} \cdot y^{3/5} \]
Από το \(x^2y^3 = 32\), έχουμε \(x^{2/5}y^{3/5} = 32^{1/5} = 2\).
Άρα:
\[ \frac{4x + 9y}{5} \geq 2^{2/5} \cdot 3^{3/5} \cdot 2 \approx 3.737 \]
Αλλά περιμένετε - θέλουμε το \(2x+3y\), όχι το \(4x+9y\)!
\[ \frac{2}{5}(2x) + \frac{3}{5}(3y) \geq (2x)^{2/5} \cdot (3y)^{3/5} \]
\[ \frac{4x + 9y}{5} \geq 2^{2/5} \cdot 3^{3/5} \cdot x^{2/5} \cdot y^{3/5} \]
Από το \(x^2y^3 = 32\), έχουμε \(x^{2/5}y^{3/5} = 32^{1/5} = 2\).
Άρα:
\[ \frac{4x + 9y}{5} \geq 2^{2/5} \cdot 3^{3/5} \cdot 2 \approx 3.737 \]
Αλλά περιμένετε - θέλουμε το \(2x+3y\), όχι το \(4x+9y\)!
Σωστή προσέγγιση:
Γράφουμε \(2x = 2 \cdot x\) και \(3y = 3 \cdot y\).
Θέλουμε βάρη που να "ταιριάζουν" με τους εκθέτες στο \(x^2y^3\).
Με βάρη \(w_1 = \frac{2}{5}, w_2 = \frac{3}{5}\):
\[ \frac{2x}{5} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3y}{5} \cdot \frac{3}{3} = \frac{2x + 3y}{5} \cdot \text{(κάτι)} \]
Πιο απλά: Χρησιμοποιούμε το standard AM-GM με repetitions:
\[ 2x + 2x + 3y + 3y + 3y \geq 5\sqrt[5]{x^2y^3 \cdot 4 \cdot 9} \]
Με \(x^2y^3 = 32\):
\[ 2(2x + 3y) \geq 5\sqrt[5]{32 \cdot 36} = 5\sqrt[5]{1152} \approx 20.34 \]
\[ 2x + 3y \geq 10.17 \]
Ισότητα: Όταν \(2x = 3y\) και \(x^2y^3 = 32\).
Γράφουμε \(2x = 2 \cdot x\) και \(3y = 3 \cdot y\).
Θέλουμε βάρη που να "ταιριάζουν" με τους εκθέτες στο \(x^2y^3\).
Με βάρη \(w_1 = \frac{2}{5}, w_2 = \frac{3}{5}\):
\[ \frac{2x}{5} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3y}{5} \cdot \frac{3}{3} = \frac{2x + 3y}{5} \cdot \text{(κάτι)} \]
Πιο απλά: Χρησιμοποιούμε το standard AM-GM με repetitions:
\[ 2x + 2x + 3y + 3y + 3y \geq 5\sqrt[5]{x^2y^3 \cdot 4 \cdot 9} \]
Με \(x^2y^3 = 32\):
\[ 2(2x + 3y) \geq 5\sqrt[5]{32 \cdot 36} = 5\sqrt[5]{1152} \approx 20.34 \]
\[ 2x + 3y \geq 10.17 \]
📚 Εφαρμογές - Από Βασικά σε IMO Level
🔹 Παράδειγμα 1: Η Κλασική \(u + \frac{1}{u}\)
Πρόβλημα: Για κάθε \(x \in \mathbb{R}\), δείξτε ότι:
\[ \frac{x^2 + 2}{\sqrt{x^2 + 1}} \geq 2 \]
Λύση:
Μετασχηματίζουμε:
\[ \frac{x^2 + 1 + 1}{\sqrt{x^2 + 1}} = \sqrt{x^2 + 1} + \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \]
Θέτουμε \(u = \sqrt{x^2 + 1} > 0\). Από AM-GM:
\[ u + \frac{1}{u} \geq 2\sqrt{u \cdot \frac{1}{u}} = 2 \]
Ισότητα όταν \(u = 1\), δηλαδή \(x = 0\).
\[ \frac{x^2 + 1 + 1}{\sqrt{x^2 + 1}} = \sqrt{x^2 + 1} + \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \]
Θέτουμε \(u = \sqrt{x^2 + 1} > 0\). Από AM-GM:
\[ u + \frac{1}{u} \geq 2\sqrt{u \cdot \frac{1}{u}} = 2 \]
Ισότητα όταν \(u = 1\), δηλαδή \(x = 0\).
🔹 Παράδειγμα 2: Ανισότητα με Ρίζες
Πρόβλημα: Για \(a, b, c, d \geq 0\), δείξτε ότι:
\[ \sqrt{(a + c)(b + d)} \geq \sqrt{ab} + \sqrt{cd} \]
Λύση:
Υψώνουμε στο τετράγωνο (επιτρεπτό αφού όλα μη αρνητικά):
\[ (a+c)(b+d) \geq ab + cd + 2\sqrt{abcd} \]
Ανοίγοντας αριστερά:
\[ ab + ad + bc + cd \geq ab + cd + 2\sqrt{abcd} \]
\[ ad + bc \geq 2\sqrt{(ad)(bc)} \]
Αυτό είναι AM-GM για τα \(ad\) και \(bc\)! ✓
\[ (a+c)(b+d) \geq ab + cd + 2\sqrt{abcd} \]
Ανοίγοντας αριστερά:
\[ ab + ad + bc + cd \geq ab + cd + 2\sqrt{abcd} \]
\[ ad + bc \geq 2\sqrt{(ad)(bc)} \]
Αυτό είναι AM-GM για τα \(ad\) και \(bc\)! ✓
🔹 Παράδειγμα 3: Ελάχιστη Τιμή Συνάρτησης
Πρόβλημα: Για \(x > 0\), βρείτε το ελάχιστο του \(f(x) = x + \frac{4}{x}\).
Λύση:
Λύση:
Από AM-GM:
\[ x + \frac{4}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} = 2\sqrt{4} = 4 \]
Ισότητα όταν \(x = \frac{4}{x}\), δηλαδή \(x^2 = 4\), άρα \(x = 2\).
Απάντηση: Ελάχιστη τιμή = 4, στο \(x = 2\).
\[ x + \frac{4}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} = 2\sqrt{4} = 4 \]
Ισότητα όταν \(x = \frac{4}{x}\), δηλαδή \(x^2 = 4\), άρα \(x = 2\).
Απάντηση: Ελάχιστη τιμή = 4, στο \(x = 2\).
🎯 Γενίκευση: Για \(a, b > 0\):
\[ x + \frac{a}{x} \geq 2\sqrt{a} \]
με ελάχιστο στο \(x = \sqrt{a}\).
\[ x + \frac{a}{x} \geq 2\sqrt{a} \]
με ελάχιστο στο \(x = \sqrt{a}\).
🔹 Παράδειγμα 4: Με Περιορισμό
Πρόβλημα: Αν \(x, y, z > 0\) με \(xyz = 1\), δείξτε ότι:
\[ x + y + z \geq 3 \]
Λύση:
Από AM-GM:
\[ \frac{x + y + z}{3} \geq \sqrt[3]{xyz} = \sqrt[3]{1} = 1 \]
\[ x + y + z \geq 3 \]
Ισότητα όταν \(x = y = z = 1\).
\[ \frac{x + y + z}{3} \geq \sqrt[3]{xyz} = \sqrt[3]{1} = 1 \]
\[ x + y + z \geq 3 \]
Ισότητα όταν \(x = y = z = 1\).
🔹 Παράδειγμα 5: Γινόμενο Παρενθέσεων
Πρόβλημα: Για \(a, b, c \geq 0\), δείξτε ότι:
\[ (a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc \]
Λύση:
Εφαρμόζουμε AM-GM σε κάθε παρένθεση:
\[ a+b \geq 2\sqrt{ab} \]
\[ b+c \geq 2\sqrt{bc} \]
\[ c+a \geq 2\sqrt{ca} \]
Πολλαπλασιάζοντας:
\[ (a+b)(b+c)(c+a) \geq 2\sqrt{ab} \cdot 2\sqrt{bc} \cdot 2\sqrt{ca} \]
\[ = 8\sqrt{ab \cdot bc \cdot ca} = 8\sqrt{a^2b^2c^2} = 8abc \quad \checkmark \]
Ισότητα όταν \(a = b = c\).
\[ a+b \geq 2\sqrt{ab} \]
\[ b+c \geq 2\sqrt{bc} \]
\[ c+a \geq 2\sqrt{ca} \]
Πολλαπλασιάζοντας:
\[ (a+b)(b+c)(c+a) \geq 2\sqrt{ab} \cdot 2\sqrt{bc} \cdot 2\sqrt{ca} \]
\[ = 8\sqrt{ab \cdot bc \cdot ca} = 8\sqrt{a^2b^2c^2} = 8abc \quad \checkmark \]
Ισότητα όταν \(a = b = c\).
💡 Τεχνική: Όταν έχετε γινόμενο παρενθέσεων με αθροίσματα, εφαρμόστε AM-GM σε κάθε μία!
🔹 Παράδειγμα 6: IMO-Level Challenge
Πρόβλημα: Για θετικούς \(a, b, c\) με \(a+b+c=3\), δείξτε ότι:
\[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 3 \]
Λύση:
Μέθοδος 1 (Cauchy-Schwarz - preview του Part 3):
\[ \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right)(a+b+c) \geq (1+1+1)^2 = 9 \]
\[ \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) \cdot 3 \geq 9 \]
\[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 3 \quad \checkmark \]
\[ \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right)(a+b+c) \geq (1+1+1)^2 = 9 \]
\[ \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) \cdot 3 \geq 9 \]
\[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 3 \quad \checkmark \]
Μέθοδος 2 (AM-GM δύο φορές):
Από AM-GM:
\[ a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc} = 3 \]
άρα \(\sqrt[3]{abc} \leq 1\).
Επίσης, εφαρμόζοντας AM-GM στα \(\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}\):
\[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}} = \frac{3}{\sqrt[3]{abc}} \geq \frac{3}{1} = 3 \quad \checkmark \]
Ισότητα: Όταν \(a = b = c = 1\).
Από AM-GM:
\[ a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc} = 3 \]
άρα \(\sqrt[3]{abc} \leq 1\).
Επίσης, εφαρμόζοντας AM-GM στα \(\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}\):
\[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}} = \frac{3}{\sqrt[3]{abc}} \geq \frac{3}{1} = 3 \quad \checkmark \]
🚨 Συχνά Λάθη & Προσοχή
⚠️ Common Mistakes - Προσοχή!
Λάθος 1: Εφαρμογή AM-GM σε μη θετικούς
❌ Το AM-GM ισχύει ΜΟΝΟ για θετικούς αριθμούς!
✅ Ελέγξτε πάντα ότι όλες οι μεταβλητές είναι \(> 0\).
Λάθος 2: Πολλαπλασιασμός ανισοτήτων με διαφορετικές κατευθύνσεις
❌ Αν \(a > b\) και \(c < d\), ΔΕΝ μπορούμε να πούμε \(ac > bd\)!
✅ Πολλαπλασιάζουμε μόνο ανισότητες με την ίδια κατεύθυνση.
Λάθος 3: Ξεχνώντας την ισότητα
❌ Δεν ελέγχετε πότε γίνεται \(=\)
✅ Πάντα ελέγχετε: Πότε επιτυγχάνεται η ισότητα;
Λάθος 4: Λάθος χρήση weighted AM-GM
❌ Τα βάρη δεν αθροίζουν στο 1
✅ Βεβαιωθείτε ότι \(\sum w_i = 1\)!
Λάθος 1: Εφαρμογή AM-GM σε μη θετικούς
❌ Το AM-GM ισχύει ΜΟΝΟ για θετικούς αριθμούς!
✅ Ελέγξτε πάντα ότι όλες οι μεταβλητές είναι \(> 0\).
Λάθος 2: Πολλαπλασιασμός ανισοτήτων με διαφορετικές κατευθύνσεις
❌ Αν \(a > b\) και \(c < d\), ΔΕΝ μπορούμε να πούμε \(ac > bd\)!
✅ Πολλαπλασιάζουμε μόνο ανισότητες με την ίδια κατεύθυνση.
Λάθος 3: Ξεχνώντας την ισότητα
❌ Δεν ελέγχετε πότε γίνεται \(=\)
✅ Πάντα ελέγχετε: Πότε επιτυγχάνεται η ισότητα;
Λάθος 4: Λάθος χρήση weighted AM-GM
❌ Τα βάρη δεν αθροίζουν στο 1
✅ Βεβαιωθείτε ότι \(\sum w_i = 1\)!
🏆 GRAND CHALLENGE - Part 1
🎯 ULTIMATE AM-GM CHALLENGE
Πρόβλημα: Για θετικούς \(a, b, c\), δείξτε ότι:
Πρόβλημα: Για θετικούς \(a, b, c\), δείξτε ότι:
\[ (a+b+c)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) \geq 9 \]
🎁 Hints σε 4 Επίπεδα:
🥉 Hint 1: Ανοίξτε την παρένθεση. Πόσοι όροι προκύπτουν;
🥈 Hint 2: Παρατηρήστε ότι 3 όροι είναι \(1 + 1 + 1 = 3\). Τι μένει;
🥇 Hint 3: Εφαρμόστε AM-GM σε ζεύγη όπως \(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\).
💎 Hint 4: Κάθε ζεύγος \(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2\).
📮 Πλήρης Λύση:
Ανοίγοντας:
\[ 1 + \frac{a}{b} + \frac{a}{c} + \frac{b}{a} + 1 + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b} + 1 \]
\[ = 3 + \left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right) + \left(\frac{b}{c} + \frac{c}{b}\right) + \left(\frac{c}{a} + \frac{a}{c}\right) \]
Από AM-GM, κάθε ζεύγος \(\geq 2\):
\[ \geq 3 + 2 + 2 + 2 = 9 \quad \checkmark \]
Ισότητα όταν \(a = b = c\).
Ανοίγοντας:
\[ 1 + \frac{a}{b} + \frac{a}{c} + \frac{b}{a} + 1 + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b} + 1 \]
\[ = 3 + \left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right) + \left(\frac{b}{c} + \frac{c}{b}\right) + \left(\frac{c}{a} + \frac{a}{c}\right) \]
Από AM-GM, κάθε ζεύγος \(\geq 2\):
\[ \geq 3 + 2 + 2 + 2 = 9 \quad \checkmark \]
Ισότητα όταν \(a = b = c\).
📊 Στρατηγική Χρήσης & Σύνοψη
🎓 Πότε Χρησιμοποιούμε Ποια Τεχνική;
💡 Golden Rules:
1️⃣ Για ελάχιστα/μέγιστα με περιορισμούς → AM-GM
2️⃣ Όταν βλέπετε τετράγωνα → Σκεφτείτε \((a-b)^2 \geq 0\)
3️⃣ Πάντα ελέγχετε την ισότητα!
4️⃣ Weighted AM-GM για μη ίσες "συνεισφορές"
5️⃣ QM-AM για άθροισμα τετραγώνων vs άθροισμα
| Μορφή Προβλήματος | Τεχνική |
|---|---|
| \(x + \frac{a}{x}\) με \(x > 0\) | AM-GM → ελάχιστο \(2\sqrt{a}\) |
| Γινόμενο σταθερό, άθροισμα ελάχιστο | AM-GM → ισότητα όταν όλα ίσα |
| Άθροισμα σταθερό, γινόμενο μέγιστο | AM-GM → ισότητα όταν όλα ίσα |
| \((a+b)(b+c)(c+a)\) κτλ. | AM-GM σε κάθε παρένθεση |
| Περιορισμός \(xyz = k\) | AM-GM για \(x+y+z\) |
| Τετράγωνα: \(a^2+b^2\) vs \(ab\) | \((a-b)^2 \geq 0\) |
💡 Golden Rules:
1️⃣ Για ελάχιστα/μέγιστα με περιορισμούς → AM-GM
2️⃣ Όταν βλέπετε τετράγωνα → Σκεφτείτε \((a-b)^2 \geq 0\)
3️⃣ Πάντα ελέγχετε την ισότητα!
4️⃣ Weighted AM-GM για μη ίσες "συνεισφορές"
5️⃣ QM-AM για άθροισμα τετραγώνων vs άθροισμα
🎊 Συγχαρητήρια!
Ολοκληρώσατε το Part 1 του Math Marathon!
Τι κατακτήσατε:
✅ Τη δύναμη του τετραγώνου
✅ Πλήρεις αποδείξεις HM-GM-AM-QM
✅ Γεωμετρική ερμηνεία
✅ Weighted AM-GM
✅ 6 αναλυτικά παραδείγματα
✅ Στρατηγική χρήσης
Ολοκληρώσατε το Part 1 του Math Marathon!
Τι κατακτήσατε:
✅ Τη δύναμη του τετραγώνου
✅ Πλήρεις αποδείξεις HM-GM-AM-QM
✅ Γεωμετρική ερμηνεία
✅ Weighted AM-GM
✅ 6 αναλυτικά παραδείγματα
✅ Στρατηγική χρήσης
📅 Επόμενο Part:
Part 2: Η "Βασίλισσα" των ανισοτήτων
\(a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca\)
με 5 διαφορετικές μεθόδους απόδειξης! 👑
Part 2: Η "Βασίλισσα" των ανισοτήτων
\(a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca\)
με 5 διαφορετικές μεθόδους απόδειξης! 👑
Μείνετε συντονισμένοι...
Το ταξίδι μόλις ξεκίνησε! 🚀
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου