Το Mathematical Reflections συνεχίζει να αποτελεί μία από τις πιο αξιόπιστες διεθνείς πηγές για προχωρημένα μαθηματικά προβλήματα, με έντονη έμφαση στις ανισότητες ολυμπιακού επιπέδου. Παρακάτω παρουσιάζονται επιλεγμένες εκφωνήσεις από το Issue 1 (2026), προτεινόμενες από μαθηματικούς πανεπιστημίων σε όλο τον κόσμο.
J722
Έστω a, b, c θετικοί πραγματικοί αριθμοί με 11a + 5b + c ≤ 24. Να αποδείξετε ότι
\[ \frac{3}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} \ge 2. \]
Proposed by An Zhenping, Xiangyang Normal University, China
J723
Έστω a, b, c τα μήκη των πλευρών ενός οξυγωνίου τριγώνου. Να αποδείξετε ότι
\[ \frac{abc}{a^2 + b^2 - c^2} + \frac{abc}{b^2 + c^2 - a^2} + \frac{abc}{c^2 + a^2 - b^2} \ge a + b + c. \]
Proposed by Titu Andreescu, Dallas, USA
J724
Έστω a, b, c θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να αποδείξετε ότι
\[ (a^3 + bc)(b^3 + ca)(c^3 + ab) \ge (abc)^2 (a+1)(b+1)(c+1). \]
Proposed by Nguyen Viet Hung, Hanoi University of Science, Vietnam
S725
Έστω a, b, c θετικοί πραγματικοί αριθμοί με ab + bc + ca = 1. Να αποδείξετε ότι
\[ a\sqrt{bc+1} + b\sqrt{ca+1} + c\sqrt{ab+1} \ge 2. \]
Proposed by An Zhenping, Xiangyang Normal University, China
S726
Να αποδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ισχύει
\[ \frac{1}{b+c-a} + \frac{1}{c+a-b} + \frac{1}{a+b-c} \ge \sqrt{\frac{3}{2Rr}}. \]
Proposed by Nguyen Viet Hung, Hanoi University of Science, Vietnam
U722
Έστω a ≥ b ≥ c ≥ 1 ≥ d μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί με ab + bc + cd = 3. Να αποδείξετε ότι
\[ \frac{1}{a^2+2} + \frac{1}{b^2+2} + \frac{1}{c^2+2} + \frac{1}{d^2+2} \ge \frac{4}{3}. \]
Proposed by Vasile Cîrtoaje, Petroleum-Gas University of Ploiești, Romania
Q725
Έστω a, b, c > 0 με ab + bc + ca + abc = 4. Να αποδείξετε ότι
\[ \frac{bc}{a} + \frac{ca}{b} + \frac{ab}{c} + (5+4\sqrt{2})abc \ge 8 + 4\sqrt{2}. \]
Proposed by Marius Stănean, Zalău, Romania
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου