Μια ορθογώνια τροχιά (orthogonal trajectory) είναι μια καμπύλη που τέμνει κάθε μέλος μιας δοσμένης οικογένειας καμπυλών κάθετα, δηλαδή με γωνία 90° σε κάθε σημείο τομής. Η έννοια αυτή εκφράζει μια βαθιά γεωμετρική και αναλυτική συμμετρία ανάμεσα σε δύο οικογένειες καμπυλών.
Αν μια οικογένεια καμπυλών περιγράφεται από διαφορική εξίσωση με κλίση
\( y' = \dfrac{dy}{dx} \)
τότε η οικογένεια των ορθογώνιων τροχιών της προκύπτει αντικαθιστώντας την κλίση με:
\( y'_{\perp} = -\dfrac{1}{y'} \)
Αυτό εξασφαλίζει ότι τα εφαπτόμενα διανύσματα των δύο καμπυλών είναι κάθετα, αφού το γινόμενο των κλίσεών τους είναι ίσο με −1.
Οι ορθογώνιες τροχιές εμφανίζονται φυσικά:
- στη διανυσματική ανάλυση (γραμμές ροής και ισοδυναμικές),
- στη φυσική (ηλεκτρικά και βαρυτικά πεδία),
- στη διαφορική γεωμετρία,
- και στη θεωρία δυναμικών συστημάτων.
Η εικόνα αποτυπώνει καθαρά αυτή την ιδέα: μια οικογένεια καμπυλών (ροζ) και μια δεύτερη καμπύλη (μπλε) που τις τέμνει παντού κάθετα, αποκαλύπτοντας ότι η κάθετη τομή δεν είναι σύμπτωση, αλλά αποτέλεσμα συγκεκριμένου μαθηματικού νόμου.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου