Sophie Germain’s Theorem: Why Every Number a^4 + 4 is Composite (Simple Proof)

Το Θεώρημα της Sophie Germain: γιατί ο αριθμός a⁴ + 4 είναι πάντα σύνθετος

Υπάρχουν μαθηματικά αποτελέσματα που μοιάζουν απλά — και όμως κρύβουν απίστευτη κομψότητα. Ένα τέτοιο είναι το κλασικό θεώρημα της Sophie Germain:

Για κάθε ακέραιο a ≠ 1, ο αριθμός a⁴ + 4 είναι σύνθετος.

Το καλύτερο; Η απόδειξη είναι σχεδόν… μία γραμμή, αν γνωρίζεις το σωστό τέχνασμα παραγοντοποίησης.

📌 Διατύπωση

Να αποδείξετε ότι ο αριθμός

a⁴ + 4

είναι πάντα σύνθετος, για κάθε ακέραιο a με a ≠ 1.

✅ Απόδειξη (παραγοντοποίηση Germain)

Ξεκινάμε με:

a⁴ + 4 = a⁴ + 4a² + 4 − 4a²

Ομαδοποιούμε:

a⁴ + 4 = (a² + 2)² − (2a)²

Και εφαρμόζουμε διαφορά τετραγώνων:

a⁴ + 4 = (a² + 2 − 2a)(a² + 2 + 2a)

Δηλαδή:

a⁴ + 4 = (a² − 2a + 2)(a² + 2a + 2)

Οι δύο παράγοντες είναι θετικοί ακέραιοι. Για κάθε ακέραιο a με a ≠ 1 δεν γίνεται κάποιος από αυτούς να ισούται με 1, άρα το γινόμενο δίνει σύνθετο αριθμό.

🔎 Παραδείγματα

a = 2: 2⁴ + 4 = 16 + 4 = 20 = 4·5
a = 3: 3⁴ + 4 = 81 + 4 = 85 = 5·17
a = 4: 4⁴ + 4 = 256 + 4 = 260 = 2²·5·13

📚 Πηγή

Η ιδέα αυτή είναι γνωστή ως Sophie Germain Identity: a⁴ + 4 = (a² − 2a + 2)(a² + 2a + 2).

Sophie Germain’s Theorem: why a⁴ + 4 is always composite

Some mathematical facts look simple — yet hide astonishing elegance. One of the most classic examples is a theorem attributed to Sophie Germain:

For every integer a ≠ 1, the number a⁴ + 4 is composite.

The best part? The proof is essentially a one-line factorization trick.

📌 Statement

Prove that the number

a⁴ + 4

is always composite for every integer a with a ≠ 1.

✅ Proof (Germain factorization)

Start with:

a⁴ + 4 = a⁴ + 4a² + 4 − 4a²

Group terms:

a⁴ + 4 = (a² + 2)² − (2a)²

Use difference of squares:

a⁴ + 4 = (a² + 2 − 2a)(a² + 2 + 2a)

So:

a⁴ + 4 = (a² − 2a + 2)(a² + 2a + 2)

Both factors are positive integers. For every integer a ≠ 1, neither factor equals 1, so the product is a genuine factorization — hence a⁴ + 4 is composite.

🔎 Examples

a = 2: 2⁴ + 4 = 16 + 4 = 20 = 4·5
a = 3: 3⁴ + 4 = 81 + 4 = 85 = 5·17
a = 4: 4⁴ + 4 = 256 + 4 = 260 = 2²·5·13

📚 Source

This identity is known as the Sophie Germain identity: a⁴ + 4 = (a² − 2a + 2)(a² + 2a + 2).