The Heesch Number Problem: Shapes That Can Form Only Finite Crowns

Το πρόβλημα του Heesch: Σχήματα που “αντέχουν” μόνο λίγα στέμματα

Στα Μαθηματικά υπάρχουν ερωτήματα που μοιάζουν απλά, αλλά οδηγούν σε βαθιά προβλήματα Γεωμετρίας. Ένα από αυτά είναι το πρόβλημα του Heesch, που αφορά το πόσες φορές μπορούμε να περιβάλλουμε ένα σχήμα με αντίγραφα του εαυτού του, χωρίς κενά ή επικαλύψεις.

🔷 Παράδειγμα με αριθμό Heesch 2

Το σκούρο πολυομινό στο κέντρο του πιο πάνω σχήματος (επινοήθηκε από τον Craig S. Kaplan) έχει μια ασυνήθιστη ιδιότητα: μπορεί να περιβάλλεται σφιχτά με αντίγραφα του εαυτού του, χωρίς να αφήνει επικαλύψεις ή κενά.

Σε αυτήν την περίπτωση, το πρώτο «στέμμα» (κόκκινο) μπορεί να περιβάλλεται από ένα δεύτερο στέμμα (κεχριμπάρι), το οποίο επίσης αποτελείται από αντίγραφα του αρχικού σχήματος. Αλλά μέχρι εκεί μπορούμε να φτάσουμε: δεν υπάρχει τρόπος να δημιουργηθεί ένα τρίτο στέμμα χρησιμοποιώντας το ίδιο σχήμα.

Άρα το σχήμα έχει αριθμό Heesch ίσο με 2. Ο όρος πήρε το όνομά του από τον Γερμανό γεωμέτρη Heinrich Heesch, ο οποίος πρότεινε αυτή τη γραμμή μελέτης το 1968.

🔶 Δεν χρειάζονται πολυόμινα

Τα σχήματα δεν χρειάζεται να είναι πολυόμοια. Ο ίδιος ο Heesch επινόησε το παρακάτω παράδειγμα, την ένωση ενός τετραγώνου, ενός ισόπλευρου τριγώνου και ενός τριγώνου 30-60-90.

Κερδίζει αριθμό Heesch 1, καθώς μπορεί να αντέξει μόνο το ένα στέμμα που εμφανίζεται.

✅ Τι ξέρουμε (και τι δεν ξέρουμε) για τους αριθμούς Heesch; (Spoiler)

Μπορούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι αριθμοί να είναι αριθμοί Heesch; Αυτό είναι μέχρι σήμερα άγνωστο.

Ο αριθμός Heesch του τετραγώνου είναι άπειρος, ενώ αυτός του κύκλου είναι μηδέν.

Ο υψηλότερος πεπερασμένος αριθμός που έχει επιτευχθεί μέχρι στιγμής είναι το 6.

The Heesch Number Problem: Shapes that survive only a few crowns

Some mathematical questions look simple, yet lead to deep geometric mysteries. One of them is the Heesch number problem, which studies how many times a shape can be surrounded tightly by copies of itself, without overlaps or gaps.

🔷 An example with Heesch number 2

The dark polyomino in the center of the figure below (designed by Craig S. Kaplan) has an unusual property: it can be tightly surrounded by copies of itself, with no overlaps and no empty spaces.

Image: Wikimedia Commons

In this case, the first “crown” (red) can itself be surrounded by a second crown (amber), also made of copies of the original shape. But that is the limit: there is no way to build a third crown using the same shape.

Therefore the original shape has Heesch number 2, named after the German geometer Heinrich Heesch, who proposed this line of study in 1968.

🔶 The shapes do not have to be polyominoes

The shapes do not need to be polyominoes. Heesch himself designed the following example: the union of a square, an equilateral triangle, and a 30-60-90 triangle.

Image: Wikimedia Commons

It has Heesch number 1, since it can support only the one crown shown.

✅ What we know (and what we don’t) about Heesch numbers (Spoiler)

Can every positive integer occur as a Heesch number? This is still unknown.

The Heesch number of the square is infinite, while the Heesch number of the circle is zero.

The highest finite Heesch number achieved so far is 6.