2026 Math Marathon | Άλγεβρα Β' Λυκείου - Εκθετικές Συναρτήσεις

1. 

α) Λύστε την εξίσωση: \( 2^{x + 3} = 4^x \)

β) Λύστε την ανισότητα: \( 2^{x + 3} < 4^x \)

γ) Προσδιορίστε το σύνολο τιμών της συνάρτησης \( f(x) = 2^{x + 3} \) όταν \( x \in [1; \log_2 6] \)

δ) Βρείτε όλους τους αριθμούς \( a \), τέτοιους ώστε η εξίσωση \( \frac{4^x - a}{2^{x + 3} - 64} = 0 \) να έχει λύση.

2. 

α) Λύστε την εξίσωση: \( 9^{x + 1} = 3^x \)

β) Λύστε την ανισότητα: \( 9^{x + 1} > 3^x \)

γ) Προσδιορίστε το σύνολο τιμών της συνάρτησης \( g(x) = 3^x \) όταν \( x \in [0; \log_3 4] \)

δ) Βρείτε όλους τους αριθμούς \( b \), τέτοιους ώστε η εξίσωση \( \frac{3^x - b}{9 \cdot 9^{x + 1} - 1} = 0 \) να μην έχει λύσεις.

3. 

α) Λύστε την εξίσωση: \( 49 \cdot 2^x = 4 \cdot 7^x \)

β) Λύστε την ανισότητα: \( 49 \cdot 2^x < 4 \cdot 7^x \)

γ) Λύστε το σύστημα εξισώσεων: \( \begin{cases} 2^x + 7^y = 3 \\ 2^x - 7^y = 1 \end{cases} \)

δ) Βρείτε όλους τους αριθμούς \( a \), τέτοιους ώστε η εξίσωση \( (2^x - a)(7^x - a) = 0 \) να έχει δύο διαφορετικές ρίζες.

4. 

α) Λύστε την εξίσωση: \( 27 \cdot 5^x = 125 \cdot 3^x \)

β) Λύστε την ανισότητα: \( 27 \cdot 5^x < 125 \cdot 3^x \)

γ) Λύστε το σύστημα εξισώσεων: \( \begin{cases} 5^x + 3^y = 6 \\ 5^x - 3^y = 4 \end{cases} \)

δ) Βρείτε όλους τους αριθμούς \( b \), τέτοιους ώστε η εξίσωση \( (5^x - b)(3^x - b) = 0 \) να έχει ακριβώς μία ρίζα.