Γρίφος με δύο ακέραιους: Τέσσερις πράξεις δίνουν 243
Δύο θετικοί ακέραιοι αριθμοί είναι οι x και y. Πραγματοποιούνται οι παρακάτω τέσσερις πράξεις:
- Προστίθενται οι δύο αριθμοί.
- Ο μικρότερος αφαιρείται από τον μεγαλύτερο.
- Οι δύο αριθμοί πολλαπλασιάζονται.
- Ο μεγαλύτερος διαιρείται με τον μικρότερο.
Στη συνέχεια, τα τέσσερα αποτελέσματα προστίθενται μεταξύ τους και το άθροισμα είναι 243.
Να βρείτε τους αριθμούς x και y.
1 σχόλιο:
Οι θετικοί ακέραιοι αριθμοί είναι:
ΑπάντησηΔιαγραφή(x,y)=(54,2) και (24,8)
Θεωρούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι:
x ≥ y > 0, (ώστε ο μεγαλύτερος να είναι το x).
Οι τέσσερις πράξεις δίνουν:
1. Άθροισμα: (x+y)
2. Διαφορά: (x−y)
3. Γινόμενο: (x*y)
4. Διαίρεση: (x/y)
Το άθροισμά τους ισούται με 243, οπότε έχουμε την εξίσωση:
(x+y)+(x−y)+x*y+x/y=243 (1)
(x+y)+(x−y)+x*y+x/y=243 === x+y+x−y+x*y+x/y=243 ===
xy+y^2+xy-y^2+xy^2+x=243y ===2xy+xy^2+x=243y ===
x*(2y+y^2+1)=243y === x*(y+1)^2=243y === x=(243y)/(y+1)^2 (2) ===
Δοκιμάζοντας θετικούς ακέραιους y, βρίσκουμε τις λύσεις:
1η λύση:
Για y=2:
x=(243y)/(y+1)^2 === x=(243*2)/(2+1)^2 === x=(243*2)/3^2 ===
x=486/9 === x=54 (3)
Έλεγχος:
(x+y)+(x−y)+x*y+x/y=243 === (54+2)+(54−2)+54*2+54/2=243 ===
56+52+108+27=243
2η λύση:
Για y=8:
x=(243y)/(y+1)^2 === x=(243*8)/(8+1)^2 ===x=(243*8)/9^2 ===
x=1.944/81 === x=24 (4)
Έλεγχος:
(x+y)+(x−y)+x*y+x/y=243 === (24+8)+(24−8)+24*8+24/8=243 ===
32+16+192+3=243