Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [146]

Πηγή: Περιοδικό «Ευκλείδης Β», τ. 90

Έστω μια συνεχής συνάρτηση f:[0,+∞)→ℝ η οποία για κάθε x≥0 ικανοποιεί την εξίσωση

\[ e^{-x}\bigl(2f(x)+e^{-x}\bigr)=x-f^2(x) \tag{1} \]

και επιπλέον ισχύει:

\[ e^{2}f(2)+1>0. \]

Α. Βοηθητική συνάρτηση και προσδιορισμός της f

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση φ:[0,+∞)→ℝ, με

\[ \varphi(x)=f(x)+e^{-x}, \qquad \text{για κάθε } x\ge 0, \]

διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα (0,+∞) και ότι

\[ f(x)=x-e^{-x}, \qquad \forall x\ge 0. \]

Β. Μονοτονία, ανισότητα και μοναδικότητα ρίζας

Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι:

\[ f(13)>\frac{6f(7)+7f(6)}{13}. \]

Να αποδείξετε επίσης ότι η εξίσωση \[ f(x)=0 \] έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα (0,1).

Γ. Σύνθεση g(h(x)) και γεωμετρικό συμπέρασμα

Έστω g,h:ℝ→ℝ δύο συναρτήσεις ώστε για κάθε x≥0 να ισχύει:

\[ g(h(x))=2f(x)+h(x). \]

Να αποδείξετε ότι:

• Η συνάρτηση h είναι αντιστρέψιμη.
• Η γραφική παράσταση της g έχει κοινό σημείο με την ευθεία y=x.

🧠

Math Chaser - EisatoponAI

⏱️ Χρόνος 🎯 Ακρίβεια 🔥 Πίεση

Πόσο γρήγορα σκέφτεσαι; Δοκίμασε το Math Chaser.
Ερωτήσεις, χρόνος και πίεση — καμία δεύτερη σκέψη.

Παίξε το Chaser ▶

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →