Πηγή: Περιοδικό «Ευκλείδης Β», τ. 90
Έστω μια συνεχής συνάρτηση f:[0,+∞)→ℝ η οποία για κάθε x≥0 ικανοποιεί την εξίσωση
\[
e^{-x}\bigl(2f(x)+e^{-x}\bigr)=x-f^2(x)
\tag{1}
\]
και επιπλέον ισχύει:
\[
e^{2}f(2)+1>0.
\]
Α. Βοηθητική συνάρτηση και προσδιορισμός της f
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση φ:[0,+∞)→ℝ, με
\[
\varphi(x)=f(x)+e^{-x},
\qquad \text{για κάθε } x\ge 0,
\]
διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα (0,+∞) και ότι
\[
f(x)=x-e^{-x},
\qquad \forall x\ge 0.
\]
Β. Μονοτονία, ανισότητα και μοναδικότητα ρίζας
Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι:
\[
f(13)>\frac{6f(7)+7f(6)}{13}.
\]
Να αποδείξετε επίσης ότι η εξίσωση \[ f(x)=0 \] έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα (0,1).
Γ. Σύνθεση g(h(x)) και γεωμετρικό συμπέρασμα
Έστω g,h:ℝ→ℝ δύο συναρτήσεις ώστε για κάθε x≥0 να ισχύει:
\[
g(h(x))=2f(x)+h(x).
\]
Να αποδείξετε ότι:
- Η συνάρτηση h είναι αντιστρέψιμη.
- Η γραφική παράσταση της g έχει κοινό σημείο με την ευθεία y=x.
🧠
Math Chaser - EisatoponAI
⏱️ Χρόνος
🎯 Ακρίβεια
🔥 Πίεση
Πόσο γρήγορα σκέφτεσαι; Δοκίμασε το Math Chaser.
Ερωτήσεις, χρόνος και πίεση — καμία δεύτερη σκέψη.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου