Πώς ο Αριθμός 1/89 Κρύβει την Ακολουθία Fibonacci

Η Ακολουθία Fibonacci Κρυμμένη μέσα στο 1/89

Μαθηματική κομψότητα σε ένα απλό κλάσμα.

---

🔢 Το Εντυπωσιακό Γεγονός

\[ \frac{1}{89} = 0.01 + 0.001 + 0.0002 + 0.00003 + 0.000005 + 0.0000008 + \dots \]

Αν προσέξουμε τους αριθμούς:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

είναι ακριβώς οι αριθμοί της ακολουθίας Fibonacci.

---

🧠 Γιατί Συμβαίνει Αυτό;

Θυμόμαστε ότι η Fibonacci ικανοποιεί:

\[ F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \]

Αν κατασκευάσουμε την άπειρη σειρά:

\[ 0.01 + 0.001 + 0.0002 + 0.00003 + \dots \]

ουσιαστικά γράφουμε:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} F_n \cdot 10^{-(n+1)} \]

και αυτή η σειρά συγκλίνει ακριβώς στο:

\[ \frac{1}{89} \]

---

📊 Η Βαθύτερη Ιδέα

Η σχέση προκύπτει από τη γεννήτρια συνάρτηση της Fibonacci:

\[ \sum_{n=0}^{\infty} F_n x^n = \frac{x}{1 - x - x^2} \]

Θέτοντας \( x = \frac{1}{10} \), εμφανίζεται φυσικά το 89.

---

EisatoponAI – Εκεί όπου οι αριθμοί αποκαλύπτουν τα μυστικά τους.