Πότε ένα γενικευμένο ολοκλήρωμα δεν είναι τελικά γενικευμένο;
Στον λογισμό, ένα γενικευμένο ολοκλήρωμα εμφανίζεται όταν:
- κάποιο από τα όρια ολοκλήρωσης είναι άπειρο, ή
- η συνάρτηση δεν είναι ορισμένη ή δεν είναι φραγμένη σε σημείο του διαστήματος.
Ωστόσο, δεν είναι κάθε ολοκλήρωμα που φαίνεται γενικευμένο πράγματι γενικευμένο. Θα το δούμε μέσα από ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα.
Το ολοκλήρωμα
\[ \int_{0}^{1} \frac{-x}{(x+1)-\sqrt{x+1}}\,dx \]
Στο x = 0 τόσο ο αριθμητής όσο και ο παρονομαστής μηδενίζονται, οπότε προκύπτει η απροσδιόριστη μορφή 0/0. Αυτό συχνά οδηγεί στο (λανθασμένο) συμπέρασμα ότι πρόκειται για γενικευμένο ολοκλήρωμα.
Αλγεβρική απλοποίηση
Πριν χρησιμοποιήσουμε όρια, ας εφαρμόσουμε άλγεβρα. Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με το συζυγές:
\[ \frac{-x}{(x+1)-\sqrt{x+1}} \cdot \frac{(x+1)+\sqrt{x+1}}{(x+1)+\sqrt{x+1}} \]
Ο παρονομαστής γίνεται:
\[ (x+1)^2-(x+1)=x(x+1) \]
Άρα:
\[ \frac{-x((x+1)+\sqrt{x+1})}{x(x+1)} = -1-\frac{1}{\sqrt{x+1}} \]
Το απλοποιημένο ολοκλήρωμα
\[ \int_{0}^{1}\left(-1-\frac{1}{\sqrt{x+1}}\right)\,dx \]
Η νέα συνάρτηση:
- είναι ορισμένη στο \(x=0\),
- δεν παρουσιάζει απειρισμό,
- και η αρχική «ασυνέχεια» είναι αφαιρούμενη.
Υπολογισμός
\[ \int_{0}^{1} -1\,dx = -1 \] \[ \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x+1}}\,dx = \left[2\sqrt{x+1}\right]_{0}^{1} = 2(\sqrt{2}-1) \]
Άρα το ολοκλήρωμα ισούται με:
\[ -1-2(\sqrt{2}-1)=1-2\sqrt{2} \]
Συμπέρασμα
Το ολοκλήρωμα δεν είναι γενικευμένο. Η αρχική δυσκολία οφειλόταν σε μια αφαιρούμενη ασυνέχεια, η οποία εξαφανίζεται μετά από σωστή αλγεβρική επεξεργασία.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου