.jpg)
🔢 Double Factorial – Το «Διπλό» Παραγοντικό
Το διπλό παραγοντικό (double factorial) ενός θετικού ακέραιου \( n \) συμβολίζεται με:
\( n!! \)
και αποτελεί γενίκευση του κλασικού παραγοντικού \( n! \).
📌 Ορισμός
\[ n!! = \begin{cases} n (n-2) (n-4)\cdots 3\cdot1, & \text{αν } n \text{ είναι περιττός} \\ \\ n (n-2) (n-4)\cdots 4\cdot2, & \text{αν } n \text{ είναι άρτιος} \\ \\ 1, & \text{αν } n=-1 \text{ ή } 0 \end{cases} \]
🧠 Παραδείγματα
\[ 7!! = 7\cdot5\cdot3\cdot1 = 105 \]
\[ 8!! = 8\cdot6\cdot4\cdot2 = 384 \]
\[ 5!! = 5\cdot3\cdot1 = 15 \]
\[ 6!! = 6\cdot4\cdot2 = 48 \]
✨ Σχέση με το κλασικό παραγοντικό
Για άρτιους αριθμούς:
\[ (2k)!! = 2^k k! \]
Για περιττούς αριθμούς:
\[ (2k-1)!! = \frac{(2k)!}{2^k k!} \]
Αυτές οι σχέσεις το συνδέουν άμεσα με τον συνδυαστικό λογισμό.
📊 Πού εμφανίζεται;
- Στην ανάπτυξη τύπων τριγωνομετρικών ολοκληρωμάτων
- Στον υπολογισμό ολοκληρωμάτων της μορφής:
\[ \int_0^{\pi/2} \sin^n x \, dx \]
- Στη θεωρία πιθανοτήτων και στη συνάρτηση Γάμμα
- Στη συνδυαστική (πλήθος τέλειων ταιριασμάτων)
🔥 Ένα εντυπωσιακό αποτέλεσμα
\[ \int_0^{\pi/2} \sin^n x\,dx = \begin{cases} \frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot\frac{\pi}{2}, & n \text{ άρτιος} \\ \\ \frac{(n-1)!!}{n!!}, & n \text{ περιττός} \end{cases} \]
Εδώ το διπλό παραγοντικό εμφανίζεται φυσικά μέσα στην ανάλυση.
EisatoponAI – Εκεί όπου τα σύμβολα αποκτούν δομή.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου