🚀 Από το dy/dx στη Σελήνη: Τι κάνει πραγματικά η παράγωγος σε έναν πύραυλο;

Οι περισσότεροι, όταν βλέπουν μια άσκηση παραγώγων, βλέπουν απλώς «άλλο ένα μαθηματικό πρόβλημα». Οι αεροδιαστημικοί μηχανικοί όμως βλέπουν καύσιμο: τις εξισώσεις που θα κρίνουν αν ένας πύραυλος θα φτάσει σε τροχιά ή θα πέσει πίσω στη Γη.

Σε αυτό το άρθρο θα δούμε πώς η παράγωγος \( \dfrac{dy}{dx} \) κρύβεται πίσω από τον «Νόμο του Πυραύλου» (εξίσωση Tsiolkovsky) και την έννοια της ταχύτητας διαφυγής (escape velocity).

Τι σημαίνει \( \dfrac{dy}{dx} \) σε ένα πύραυλο;

Στα μαθηματικά, η παράγωγος \( \dfrac{dy}{dx} \) είναι ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής: πόσο γρήγορα αλλάζει το \( y \) όταν αλλάζει ελάχιστα το \( x \).

Στη φυσική πτήσης ενός πυραύλου:

• \( \dfrac{dv}{dt} \) είναι ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας, δηλαδή η επιτάχυνση.
• \( \dfrac{dm}{dt} \) δείχνει πόσο γρήγορα «χάνεται» μάζα, καθώς καίγεται καύσιμο και φεύγουν τα καυσαέρια.

Ο συνδυασμός αυτών των ρυθμών, μαζί με τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα και τη διατήρηση της ορμής, οδηγεί σε μια διαφορική εξίσωση που, μετά από ολοκλήρωση, δίνει την εξίσωση του πυραύλου:

\[ \Delta v = v_e \ln\!\left(\frac{m_0}{m_f}\right) \]

Όπου:

• \( \Delta v \): η συνολική μεταβολή της ταχύτητας του πυραύλου,
• \( v_e \): ταχύτητα καυσαερίων (exhaust velocity),
• \( m_0 \): αρχική μάζα (με καύσιμο),
• \( m_f \): τελική μάζα (χωρίς καύσιμο).

Χωρίς παραγώγους και ολοκληρώματα, αυτή η εξίσωση δεν θα υπήρχε· άρα δεν θα υπήρχαν και πραγματικοί υπολογισμοί για αποστολές σε τροχιά ή στη Σελήνη.

Διαφυγή ή πτώση πίσω; Η ιδέα της escape velocity

Για να φύγει ένας πύραυλος από τη Γη, χρειάζεται αρκετή \( \Delta v \) ώστε να «νικήσει» τη βαρύτητα. Η ταχύτητα διαφυγής από την επιφάνεια της Γης δίνεται από τον τύπο:

\[ v_{\text{esc}} = \sqrt{\frac{2GM}{R}} \]

Όπου \( G \) είναι η σταθερά βαρύτητας, \( M \) η μάζα της Γης και \( R \) η ακτίνα της. Ο τύπος προκύπτει από τη διατήρηση της ενέργειας και δείχνει την ελάχιστη ταχύτητα για να ξεφύγει ένα σώμα από το βαρυτικό πεδίο χωρίς επιπλέον ώθηση.

Αν το \( \Delta v \) που μπορεί να δώσει ο πύραυλος (από την εξίσωση του πυραύλου) είναι μεγαλύτερο ή ίσο από αυτή την ταχύτητα διαφυγής (με τις αναγκαίες διορθώσεις για ατμόσφαιρα και απώλειες), τότε ο πύραυλος δεν «πέφτει πίσω».

Μικρό παράδειγμα υπολογισμού

Έστω ιδανικά ότι ένας πύραυλος έχει:

• \( v_e = 3\,000\ \text{m/s} \),
• \( m_0 / m_f = 8 \) (δηλαδή στην αρχή είναι 8 φορές βαρύτερος από το «άδειο» σκάφος).

Τότε η εξίσωση του πυραύλου δίνει:

\[ \begin{aligned} \Delta v &= v_e \ln\!\left(\frac{m_0}{m_f}\right) \\ &= 3\,000 \cdot \ln(8) \\ &\approx 3\,000 \cdot 2{,}079 \\ &\approx 6\,237\ \text{m/s} \end{aligned} \]

Αυτό δεν φτάνει για πλήρη διαφυγή από τη Γη (περίπου \( 11{,}2\ \text{km/s} \) από την επιφάνεια), αλλά είναι της τάξης μεγέθους της ταχύτητας τροχιάς χαμηλής Γης. Έτσι οι μηχανικοί σχεδιάζουν στάδια, καλύτερα καύσιμα και συνδυασμούς πυραύλων, παίζοντας με ρυθμούς μεταβολής μάζας και ταχύτητας – δηλαδή με παραγώγες.

Άσκηση για τον αναγνώστη

1. Υπολόγισε πόση \( \Delta v \) μπορεί να δώσει ένας πύραυλος με \( v_e = 4\,500\ \text{m/s} \) και \( m_0 / m_f = 5 \).
2. Σύγκρινέ την με την ταχύτητα διαφυγής της Γης \( v_{\text{esc}} \approx 11{,}2\ \text{km/s} \).
3. Σχολίασε: Είναι ρεαλιστικό να περιμένουμε escape μόνο με ένα τέτοιο «ιδανικό» στάδιο;

Μπορείς να γράψεις απάντηση στα σχόλια ή να επεκτείνεις την άσκηση, δοκιμάζοντας διαφορετικές τιμές για \( v_e \) και \( m_0/m_f \).