Ο αριθμός e – από τον τόκο στις εκθετικές διαδικασίες

Το 1683 ο Ελβετός μαθηματικός Jacob Bernoulli μελετούσε ένα φαινομενικά απλό οικονομικό ερώτημα: τι συμβαίνει αν ο τόκος δεν προστίθεται μία φορά τον χρόνο, αλλά ολοένα και συχνότερα – κάθε μήνα, κάθε μέρα, «σχεδόν συνεχώς»; 

Ξεκίνησε από τον γνωστό τύπο ανατοκισμού και είδε ότι, καθώς αυξάνουμε τον αριθμό των κεφαλαιοποιήσεων, εμφανίζεται ξανά και ξανά η παράσταση

\[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n. \]

Όσο το \(n\) μεγαλώνει, αυτή η παράσταση «σταθεροποιείται» προς έναν συγκεκριμένο αριθμό. Έτσι γεννήθηκε ο ορισμός

\[ e = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n. \]

Αρχικά ο \(e\) εμφανίστηκε ως εργαλείο σε προβλήματα ανατοκισμού: περιέγραφε πόσο μεγαλώνει ένα κεφάλαιο όταν ο τόκος προστίθεται συνεχώς. Σύντομα όμως οι μαθηματικοί κατάλαβαν ότι ο ίδιος αριθμός κρύβεται πίσω από κάθε διαδικασία που «μεγαλώνει» ή «σβήνει» συνεχώς στον χρόνο: στα μοντέλα πληθυσμιακής αύξησης, στη ραδιενεργό διάσπαση, στη διάχυση της θερμότητας, στην περιγραφή ηλεκτρικών σημάτων και σε δεκάδες άλλα φαινόμενα.

Σήμερα ο \(e \approx 2{,}71828\) θεωρείται ένας από τους θεμελιώδεις αριθμούς των μαθηματικών, δίπλα στο \(0\), το \(1\), το \(\pi\) και το \(i\). Ένα ερώτημα για το πώς λειτουργεί ο τόκος οδήγησε σε μια ανακάλυψη που διαπερνά τη σύγχρονη ανάλυση, τη φυσική, την πληροφορική και τις επιστήμες μηχανικού.