Πλευρικά Όρια – Τι Είναι τα lim x→0⁺ και lim x→0⁻ στη Μαθηματική Ανάλυση

Πλευρικά Όρια: Τι Σημαίνει lim x→0⁺ και lim x→0⁻;

Η εικόνα με τους δρομείς αποτυπώνει με εκπληκτικό τρόπο μια βασική έννοια της Ανάλυσης:

Τα μονόπλευρα όρια.

---

Τι Είναι το Όριο σε Ένα Σημείο;

Λέμε ότι:

lim_x→0 f(x) = L

αν η συνάρτηση πλησιάζει την ίδια τιμή L όταν το x πλησιάζει το 0.

Όμως υπάρχει μια λεπτομέρεια:

• Μπορούμε να πλησιάσουμε το 0 από δεξιά.
• Μπορούμε να πλησιάσουμε το 0 από αριστερά.

---

Τα Μονόπλευρα Όρια

lim_x→0⁺ f(x)

Σημαίνει ότι το x πλησιάζει το 0 από θετικές τιμές (δεξιά).

lim_x→0⁻ f(x)

Σημαίνει ότι το x πλησιάζει το 0 από αρνητικές τιμές (αριστερά).

---

Πότε Υπάρχει το Όριο;

Το συνολικό όριο:

lim_x→0 f(x)

υπάρχει μόνο αν:

lim_x→0⁺ f(x) = lim_x→0⁻ f(x)

Δηλαδή οι «δρομείς» από αριστερά και δεξιά φτάνουν στο ίδιο σημείο.

---

Διαισθητική Ερμηνεία

Στην εικόνα:

• Οι δύο δρομείς που πλησιάζουν είναι τα μονόπλευρα όρια.
• Η γραμμή τερματισμού είναι το x = 0.
• Η τιμή στο σημείο δεν έχει σημασία — μόνο το τι συμβαίνει κοντά του.

Αν οι δύο προσεγγίσεις συμφωνούν, υπάρχει όριο.

Αν διαφωνούν, τότε το όριο δεν υπάρχει.

---

Παράδειγμα

Η συνάρτηση:

f(x) = |x| / x

έχει:

• lim x→0⁺ f(x) = 1
• lim x→0⁻ f(x) = −1

Άρα το όριο στο 0 δεν υπάρχει.

---

Το όριο δεν είναι το σημείο. Είναι ο τρόπος που το πλησιάζουμε.