.jpg)
Θέμα 1
1. Να λυθεί η εξίσωση:
\[ 2(x+5)\sqrt{1-3x}+3x-10 = \frac{5(x^2+4x+9)} {2\sqrt{10-6x}+\sqrt{4+3x+1}}. \]2. Να λυθεί το σύστημα:
\[ \begin{cases} a^3 + 2a^2b + ab^2 - 7a^2 - 10ab - 3b^2 + 16a + 12b - 512 = 0, \\ b^3 + 2ab^2 + a^2b + a^2 - 3b^2 - 2ab - 4a - 496 = 0. \end{cases} \]Θέμα 2
α) Έστω πρώτος αριθμός \(p\). Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν άπειροι φυσικοί αριθμοί \(n\) ώστε:
\[ 2028^{\,n+2027} \equiv n + 2026 \pmod{p}. \]β) Για \(n \in \mathbb{N}\), να αποδειχθεί ότι:
\[ K= \frac{ \left(2^4+\frac14\right) \left(4^4+\frac14\right) \left(6^4+\frac14\right) \cdots \left((2n)^4+\frac14\right) } { \left(1^4+\frac14\right) \left(3^4+\frac14\right) \left(5^4+\frac14\right) \cdots \left((2n-1)^4+\frac14\right) } \] μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο τετραγώνων.Θέμα 3
1. Έστω πολυώνυμο βαθμού \(n \ge 5\) με ακέραιους συντελεστές:
\[ P(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0. \] Αν το \(P(x)\) έχει \(n\) διακεκριμένες ακέραιες ρίζες \(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\), να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι \(k\) για τους οποίους: \[ P(P(k))=0. \]2. Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν άπειρες τριάδες ακεραίων \(a,b,c\) με:
\[ 1 \le a < b < c \] ώστε να ισχύει: \[ \begin{cases} (a+2027)(b+2027) \equiv 2027 \pmod{c}, \\ (b+2027)(c+2027) \equiv 2027 \pmod{a}, \\ (c+2027)(a+2027) \equiv 2027 \pmod{b}. \end{cases} \]EisatoponAI – Serious Mathematics for Serious Thinkers
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου