Πόσο απέχουν οι δύο στύλοι; Μια ενδιαφέρουσα άσκηση με καμπύλη αλυσίδας

Το πρόβλημα αφορά ένα καλώδιο μήκους 80 m που κρέμεται ανάμεσα σε δύο στύλους ίσου ύψους 50 m. Το χαμηλότερο σημείο του καλωδίου βρίσκεται στο μέσο και απέχει 10 m από το έδαφος. Ζητείται να υπολογιστεί η οριζόντια απόσταση των δύο στύλων.

Η καμπύλη που σχηματίζει ένα τέτοιο καλώδιο δεν είναι παραβολή, αλλά καμπύλη αλυσίδας (catenary), της μορφής

$$y=a\cosh\left(\frac{x}{a}\right)$$

Στην παρούσα περίπτωση, επειδή το χαμηλότερο σημείο έχει ύψος $10$, τίθεται

$$a=10$$

οπότε η εξίσωση του καλωδίου είναι

$$y=10\cosh\left(\frac{x}{10}\right)$$

Αν οι στύλοι βρίσκονται στις θέσεις $x=-b$ και $x=b$, τότε το συνολικό μήκος του καλωδίου δίνεται από το ολοκλήρωμα μήκους τόξου:

$$80=\int_{-b}^{b}\sqrt{1+\left(y'\right)^2}\,dx$$

Υπολογίζοντας την παράγωγο,

$$y'=\sinh\left(\frac{x}{10}\right)$$

και χρησιμοποιώντας την ταυτότητα

$$1+\sinh^2 u=\cosh^2 u$$

προκύπτει

$$80=\int_{-b}^{b}\cosh\left(\frac{x}{10}\right)\,dx$$

Άρα

$$80=20\sinh\left(\frac{b}{10}\right)$$

οπότε

$$\sinh\left(\frac{b}{10}\right)=4$$

Λύνοντας, βρίσκουμε

$$b=10\ln(4+\sqrt{17})\approx 20.947$$

Επομένως η συνολική απόσταση των δύο στύλων είναι

$$2b \approx 41.9\text{ m}$$

Το αποτέλεσμα δείχνει ότι οι δύο στύλοι απέχουν περίπου 41,9 μέτρα.

Το πρόβλημα αυτό είναι ενδιαφέρον, επειδή συνδέει τη γεωμετρία, τις υπερβολικές συναρτήσεις και τον ολοκληρωτικό λογισμό με μια πραγματική φυσική κατάσταση, δηλαδή τη μορφή που παίρνει ένα κρεμασμένο καλώδιο υπό την επίδραση της βαρύτητας.