Πόσο γεμάτο είναι το μπουκάλι;

Ένα μπουκάλι έχει συνολικό ύψος 21 cm. Όταν βρίσκεται σε όρθια θέση, το υγρό φτάνει σε ύψος 12 cm.

Αν το ίδιο μπουκάλι αναποδογυριστεί, τότε η στάθμη του υγρού φτάνει σε ύψος 15 cm, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Το ερώτημα είναι απλό στη διατύπωση, αλλά απαιτεί προσεκτική σκέψη:

Τι ποσοστό του μπουκαλιού είναι γεμάτο;

Το πρόβλημα δεν απαιτεί απαραίτητα πολύπλοκους υπολογισμούς, αλλά σωστή κατανόηση της γεωμετρίας του σχήματος και της κατανομής του όγκου.

Προσπάθησε να το σκεφτείς πριν δεις τη λύση.

Δες τη λύση

Έστω ότι ο συνολικός όγκος του μπουκαλιού είναι V και ο όγκος του υγρού είναι x.

Όταν το μπουκάλι είναι όρθιο, το υγρό καταλαμβάνει το κάτω μέρος μέχρι τα 12 cm.

Όταν το μπουκάλι αναποδογυρίζεται, το ίδιο υγρό καταλαμβάνει τώρα το κάτω μέρος της νέας θέσης μέχρι τα 15 cm.

Παρατηρούμε ότι τα δύο «κενά» τμήματα συμπληρώνουν το συνολικό ύψος:

12 + 15 = 27 > 21

Η βασική ιδέα είναι ότι τα συμπληρωματικά τμήματα του όγκου ανταλλάσσονται. Από τη συμμετρία του προβλήματος προκύπτει ότι:

x = \frac{2}{3} V

Δηλαδή το μπουκάλι είναι γεμάτο κατά:

66,7%

Το αποτέλεσμα είναι εντυπωσιακό, γιατί δεν εξαρτάται από το ακριβές σχήμα του μπουκαλιού, αλλά μόνο από τα ύψη που δίνονται.