Μια όμορφη απόδειξη της ταυτότητας cos² θ + sin² θ=1 με τον τύπο του Euler

Η γνωστή τριγωνομετρική ταυτότητα

\( \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 \)

είναι μία από τις πιο θεμελιώδεις σχέσεις στα μαθηματικά. Συνήθως αποδεικνύεται γεωμετρικά μέσω του μοναδιαίου κύκλου. Υπάρχει όμως και μια πολύ όμορφη απόδειξη που προκύπτει από τη θεωρία των μιγαδικών αριθμών.

Ξεκινάμε από τον περίφημο τύπο του Euler:

\( e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta \)

Ο συζυγής του είναι:

\( e^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta \)

Πολλαπλασιάζουμε τις δύο σχέσεις:

\( e^{i\theta} \cdot e^{-i\theta} = (\cos\theta + i\sin\theta)(\cos\theta - i\sin\theta) \)

Το αριστερό μέλος γίνεται

\( e^{i\theta-i\theta} = e^0 = 1 \)

Στο δεξί μέλος χρησιμοποιούμε την ταυτότητα

\( (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \)

οπότε παίρνουμε

\( \cos^2\theta - (i\sin\theta)^2 \)

Επειδή

\( i^2=-1 \)

προκύπτει

\( \cos^2\theta + \sin^2\theta \)

και τελικά

\( \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 \)

Έτσι, μια από τις πιο γνωστές τριγωνομετρικές ταυτότητες προκύπτει με έναν εντυπωσιακά απλό τρόπο από την εκθετική μορφή των μιγαδικών αριθμών.