📘 Θέματα Προκριματικού Νέων 2026
Δοκίμασε τις δυνάμεις σου στα παρακάτω προβλήματα 👇
Πρόβλημα 1
Να βρείτε όλα τα ζευγάρια μη αρνητικών ακεραίων \(x,y\) που επαληθεύουν την εξίσωση:
Να βρείτε όλα τα ζευγάρια μη αρνητικών ακεραίων \(x,y\) που επαληθεύουν την εξίσωση:
\((x-y)(xy+3)=21-(xy)^2\)
Πρόβλημα 2
Έστω τρίγωνο \(ABC\) με \(AB=AC<BC\). Στην προέκταση του \(AB\) προς το \(B\) βρίσκεται σημείο \(D\) ώστε \(AD=BC\). Επίσης υπάρχει σημείο \(E\) στην ίδια ευθεία στην προέκταση της από το \(D\) ώστε \(BE=BC\). Η παράλληλη από το \(D\) στο τμήμα \(BC\) τέμνει την \(EC\) σε σημείο \(Z\). Στην ημιευθεία \(AZ\) υπάρχει σημείο \(K\) ώστε \(BK=AZ\).
Να αποδείξετε ότι τα σημεία \(A,B,C,K\) είναι ομοκυκλικά.
Έστω τρίγωνο \(ABC\) με \(AB=AC<BC\). Στην προέκταση του \(AB\) προς το \(B\) βρίσκεται σημείο \(D\) ώστε \(AD=BC\). Επίσης υπάρχει σημείο \(E\) στην ίδια ευθεία στην προέκταση της από το \(D\) ώστε \(BE=BC\). Η παράλληλη από το \(D\) στο τμήμα \(BC\) τέμνει την \(EC\) σε σημείο \(Z\). Στην ημιευθεία \(AZ\) υπάρχει σημείο \(K\) ώστε \(BK=AZ\).
Να αποδείξετε ότι τα σημεία \(A,B,C,K\) είναι ομοκυκλικά.
Πρόβλημα 3
Έστω \(a,b,c\) πραγματικοί αριθμοί ώστε:
Να αποδείξετε ότι:
Έστω \(a,b,c\) πραγματικοί αριθμοί ώστε:
\(ab+bc+ca=-3\)
\(a^2+b^2+c^2=6\)
\(a^2+b^2+c^2=6\)
Να αποδείξετε ότι:
\((|a|-1)(|b|-1)(|c|-1)(|a|+|b|+|c|-4) \ge 0\)
Πρόβλημα 4
Έχουμε ένα ρομπότ σε πλέγμα \(6 \times 6\), αριθμημένο από το 1 έως το 36.
Να βρείτε το μέγιστο άθροισμα των αριθμών που μπορεί να διανύσει και να σχεδιάσετε μια διαδρομή που το επιτυγχάνει.
Έχουμε ένα ρομπότ σε πλέγμα \(6 \times 6\), αριθμημένο από το 1 έως το 36.
- Ξεκινά από το 1
- Καταλήγει στο 6
- Κινείται μόνο σε γειτονικά τετράγωνα
- Δεν επισκέπτεται τετράγωνο δύο φορές
Να βρείτε το μέγιστο άθροισμα των αριθμών που μπορεί να διανύσει και να σχεδιάσετε μια διαδρομή που το επιτυγχάνει.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου