Έξυπνο Πρόβλημα με Ρίζες και Δυνάμεις – Βρες το x χωρίς Υπολογισμούς

🧠 Βρες το x

Δίνεται:

\[ x = \left(4 + \frac{1}{\sqrt[3]{65^2} + \sqrt[3]{4160} + \sqrt[3]{8^4}} \right)^6 \]

Να υπολογιστεί η τιμή του \(x\).

Λύση:

Παρατηρούμε ότι: \[ \sqrt[3]{65^2} = \sqrt[3]{4225}, \quad \sqrt[3]{4160}, \quad \sqrt[3]{8^4} = \sqrt[3]{4096} \] Κλειδί: \[ 4225 = 65^2,\quad 4160 = 65\cdot64,\quad 4096 = 64^2 \] Άρα: \[ \sqrt[3]{4225} + \sqrt[3]{4160} + \sqrt[3]{4096} = \sqrt[3]{65^2} + \sqrt[3]{65\cdot64} + \sqrt[3]{64^2} \] Θέτουμε: \[ a = \sqrt[3]{65}, \quad b = \sqrt[3]{64} = 4 \] Τότε: \[ a^2 + ab + b^2 = (a+b)^2 - ab \] Και ισχύει η ταυτότητα: \[ a^2 + ab + b^2 = \frac{a^3 - b^3}{a - b} \] Άρα: \[ \frac{1}{a^2 + ab + b^2} = \frac{a-b}{a^3 - b^3} \] Εδώ: \[ a^3 - b^3 = 65 - 64 = 1 \] Άρα: \[ \frac{1}{a^2 + ab + b^2} = a - b = \sqrt[3]{65} - 4 \] Τότε: \[ 4 + \frac{1}{...} = 4 + (\sqrt[3]{65} - 4) = \sqrt[3]{65} \] Άρα: \[ x = (\sqrt[3]{65})^6 = 65^2 \]

✅ Τελικό αποτέλεσμα: \(x = 4225\)

🧠

Math Chaser - EisatoponAI

⏱️ Χρόνος 🎯 Ακρίβεια 🔥 Πίεση

Πόσο γρήγορα σκέφτεσαι; Δοκίμασε το Math Chaser.
Ερωτήσεις, χρόνος και πίεση — καμία δεύτερη σκέψη.

Παίξε το Chaser ▶