⭕ Το Τρίγωνο (3, 4, 5) και οι Τέσσερις Κύκλοι του - Γεωμετρική Μελέτη

📐 Το τρίγωνο 3-4-5

Το ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές \(3\), \(4\) και \(5\) είναι το πιο διάσημο Πυθαγόρειο τρίγωνο. Στο σχήμα, βλέπουμε το κόκκινο τρίγωνο στο κέντρο, μαζί με τους κύκλους που το συνοδεύουν.

⭕ Οι τέσσερις κύκλοι

Ένα τρίγωνο έχει έναν εγγεγραμμένο κύκλο (incircle) και τρεις παρεγγεγραμμένους κύκλους (excircles). Για το τρίγωνο \(3,4,5\), οι ακτίνες τους είναι:

• Εγγεγραμμένος κύκλος (Incircle): \( r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{3 + 4 - 5}{2} = \mathbf{1} \)
• Παρεγγεγραμμένος απέναντι στην πλευρά \(c=5\): \( r_c = \frac{a + b + c}{2} = \frac{3 + 4 + 5}{2} = \mathbf{6} \)
• Παρεγγεγραμμένος απέναντι στην πλευρά \(a=3\): \( r_a = \frac{-a + b + c}{2} = \frac{-3 + 4 + 5}{2} = \mathbf{3} \)
• Παρεγγεγραμμένος απέναντι στην πλευρά \(b=4\): \( r_b = \frac{a - b + c}{2} = \frac{3 - 4 + 5}{2} = \mathbf{2} \)

Έτσι, οι ακτίνες των τεσσάρων κύκλων είναι οι ακέραιοι 1, 2, 3 και 6.

📖 Μια σπάνια ιδιότητα

Η ιδιότητα αυτή — όλες οι ακτίνες των τεσσάρων κύκλων να είναι ακέραιοι — είναι σπάνια. Το τρίγωνο \(3,4,5\) είναι το μικρότερο και πιο διάσημο παράδειγμα, αλλά υπάρχουν και άλλα Ηρωικά τρίγωνα (Heronian triangles) με παρόμοια ιδιότητα.

Η σχέση μεταξύ των ακτίνων \(1, 2, 3, 6\) είναι επίσης αξιοσημείωτη:

• \(1 \times 2 \times 3 = 6\)
• \(1 + 2 + 3 = 6\)

Αυτή η αρμονία των αριθμών είναι μια από τις πολλές ομορφιές που κρύβει το ταπεινό τρίγωνο \(3,4,5\).

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →