♾️ Το Θεώρημα του Ευκλείδη
Στη θεωρία αριθμών υπάρχει ένα από τα πιο θεμελιώδη και όμορφα αποτελέσματα των μαθηματικών:
Υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί.
Το αποτέλεσμα είναι γνωστό ως Θεώρημα του Ευκλείδη και αποδόθηκε για πρώτη φορά στον Ευκλείδη, ο οποίος το παρουσίασε στα Στοιχεία, στο Βιβλίο IX, Πρόταση 20.
Η δύναμη του θεωρήματος δεν βρίσκεται μόνο στο συμπέρασμα, αλλά κυρίως στην εκπληκτικά απλή ιδέα που χρησιμοποιεί για να το αποδείξει.
🔢 Ας υποθέσουμε ότι γνωρίζουμε κάποιους πρώτους
Έστω ότι έχουμε μια οποιαδήποτε πεπερασμένη λίστα πρώτων αριθμών:
$$p_1,p_2,p_3,\ldots,p_n$$
Δεν έχει σημασία πόσο μεγάλη είναι η λίστα. Μπορεί να περιέχει δύο πρώτους, εκατό πρώτους ή ένα δισεκατομμύριο πρώτους. Αρκεί να είναι πεπερασμένη.
Τώρα κατασκευάζουμε έναν νέο αριθμό:
$$N=p_1p_2p_3\cdots p_n+1.$$
Αυτός ο αριθμός είναι το κλειδί ολόκληρης της απόδειξης.
🧩 Γιατί προσθέτουμε το 1;
Ας πάρουμε οποιονδήποτε από τους πρώτους αριθμούς της λίστας, για παράδειγμα τον \(p_i\).
Επειδή ο \(p_i\) είναι ένας από τους παράγοντες του γινομένου \(p_1p_2\cdots p_n\), έχουμε:
$$p_i\mid p_1p_2\cdots p_n.$$
Άρα, όταν διαιρέσουμε το \(N\) με τον \(p_i\), παίρνουμε:
$$N=p_1p_2\cdots p_n+1\equiv1\pmod{p_i}.$$
Επομένως:
κανένας από τους \(p_1,p_2,\ldots,p_n\) δεν διαιρεί τον \(N\).
❓ Είναι ο \(N\) πρώτος;
Εδώ υπάρχει μια σημαντική λεπτομέρεια. Ο αριθμός
$$N=p_1p_2\cdots p_n+1$$
δεν είναι απαραίτητο να είναι πρώτος.
Για παράδειγμα:
$$2\cdot3\cdot5\cdot7+1=211,$$
και το \(211\) είναι πρώτος. Όμως, αν πάρουμε τους πρώτους \(2,3,5,7,11,13\), τότε:
$$2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13+1=30031,$$
και
$$30031=59\cdot509.$$
Άρα ο \(N\) μπορεί να είναι σύνθετος. Αυτό όμως δεν καταστρέφει την απόδειξη.
🔎 Το κρίσιμο σημείο
Αν ο \(N\) είναι πρώτος, τότε βρήκαμε έναν πρώτο αριθμό που δεν βρίσκεται στην αρχική λίστα.
Αν ο \(N\) είναι σύνθετος, τότε έχει τουλάχιστον έναν πρώτο διαιρέτη. Έστω ότι αυτός είναι ο \(q\):
$$q\mid N.$$
Όμως γνωρίζουμε ότι κανένας από τους \(p_1,p_2,\ldots,p_n\) δεν διαιρεί τον \(N\). Επομένως:
$$q\notin\{p_1,p_2,\ldots,p_n\}.$$
Άρα ο \(q\) είναι ένας νέος πρώτος αριθμός, διαφορετικός από όλους τους πρώτους που είχαμε αρχικά.
♾️ Το συμπέρασμα
Ξεκινήσαμε με οποιαδήποτε πεπερασμένη λίστα πρώτων αριθμών. Κατασκευάσαμε τον αριθμό:
$$N=p_1p_2\cdots p_n+1.$$
Κανένας από τους αρχικούς πρώτους δεν διαιρεί τον \(N\). Επομένως, είτε ο ίδιος ο \(N\) είναι πρώτος είτε κάποιος πρώτος διαιρέτης του είναι ένας νέος πρώτος αριθμός.
Άρα, όσα πεπερασμένα πλήθη πρώτων κι αν έχουμε, πάντα μπορούμε να βρούμε έναν ακόμη.
$$\boxed{\text{Υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί.}}$$
🏛️ Η ιδιοφυΐα της ιδέας του Ευκλείδη
Η απόδειξη είναι αξιοσημείωτη επειδή δεν χρειάζεται να γνωρίζουμε ποιοι είναι όλοι οι πρώτοι αριθμοί. Ούτε χρειάζεται να κατασκευάσουμε μια ακολουθία που να παράγει διαδοχικά όλους τους πρώτους.
Χρειαζόμαστε μόνο μία ιδέα:
Πάρε οποιαδήποτε πεπερασμένη συλλογή πρώτων και κατασκεύασε έναν αριθμό που δεν διαιρείται από κανέναν από αυτούς.
Η ιδέα αυτή αποτελεί ένα από τα κλασικά παραδείγματα μαθηματικής σκέψης: δεν χρειάζεται να γνωρίζουμε πού βρίσκεται ο επόμενος πρώτος. Μπορούμε να αποδείξουμε ότι υπάρχει.
🧠 Μια λεπτή λογική παρατήρηση
Η απόδειξη του Ευκλείδη συχνά παρουσιάζεται ως απόδειξη με απαγωγή σε άτοπο: υποθέτουμε ότι υπάρχει πεπερασμένος αριθμός πρώτων και καταλήγουμε σε αντίφαση.
Υπάρχει όμως και μια πιο άμεση ανάγνωση της απόδειξης. Για κάθε πεπερασμένη λίστα πρώτων κατασκευάζουμε έναν αριθμό \(N\) και δείχνουμε ότι υπάρχει ένας πρώτος που δεν ανήκει στη λίστα.
Με αυτή την οπτική, η απόδειξη είναι μια άμεση κατασκευή:
$$\{p_1,\ldots,p_n\} \quad\longrightarrow\quad p_1p_2\cdots p_n+1 \quad\longrightarrow\quad \text{νέος πρώτος}.$$
💭 Μια σκέψη για το τέλος
Ο Ευκλείδης δεν μας έδωσε έναν κατάλογο με όλους τους πρώτους αριθμούς. Μας έδωσε κάτι πολύ ισχυρότερο: έναν τρόπο να γνωρίζουμε ότι ο κατάλογος δεν μπορεί ποτέ να τελειώσει.
Όσο μακριά κι αν φτάσουμε, υπάρχει πάντα ένας ακόμη πρώτος.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου