⭕ Πτολεμαίος, αλλά με Κύκλους αντί για Σημεία

Το θεώρημα Πτολεμαίου είναι από τα πιο γνωστά της γεωμετρίας: σε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο, το γινόμενο των διαγωνίων ισούται με το άθροισμα των γινομένων των απέναντι πλευρών. Τι θα γινόταν όμως αν τα τέσσερα σημεία-κορυφές δεν ήταν καθόλου σημεία, αλλά κύκλοι — καθένας με τη δική του ακτίνα, όλοι εφαπτόμενοι εσωτερικά σε έναν μεγαλύτερο κύκλο;

Απίστευτα, η σχέση εξακολουθεί να ισχύει, αρκεί να αντικαταστήσετε τις αποστάσεις ανάμεσα στα σημεία με τα μήκη των κοινών εξωτερικών εφαπτομένων ανάμεσα στους κύκλους:

\[ \tau_{12}\cdot\tau_{34} + \tau_{14}\cdot\tau_{23} = \tau_{13}\cdot\tau_{24} \]

Επαληθεύεται με τυχαίους κύκλους διαφορετικής ακτίνας, τοποθετημένους με τη σειρά μέσα σε έναν μεγαλύτερο κύκλο — και όσο πιο περίεργα επιλέγετε τις ακτίνες, τόσο πιο εντυπωσιακό φαίνεται ότι η ισότητα εξακολουθεί να «κλείνει» με απόλυτη ακρίβεια. Συρρικνώστε τους κύκλους ξανά σε σημεία, και επιστρέφετε ακριβώς στον κλασικό Πτολεμαίο.

Το θεώρημα φέρει το όνομα του John Casey (1820-1891), γεννημένου στο Kilbehenny της κομητείας Limerick — έναν αυτοδίδακτο δάσκαλο μαθηματικών που δεν είχε καν προλάβει να πατήσει σε πανεπιστήμιο μέχρι τα 38 του χρόνια, το 1858, όταν οι καθηγητές George Salmon και Richard Townsend του Trinity College Dublin ανακάλυψαν το ερασιτεχνικό του έργο και τον έπεισαν να γραφτεί επίσημα. Πέθανε στο Δουβλίνο το 1891, έχοντας ήδη τιμηθεί ως μέλος της Royal Society (1875) και της Royal Irish Academy. Υπάρχει όμως και κάτι ακόμη πιο ενδιαφέρον: ενδείξεις δείχνουν ότι το ίδιο ακριβώς αποτέλεσμα είχε ήδη ανακαλυφθεί περίπου 30 χρόνια νωρίτερα, στην ιαπωνική παράδοση του Wasan — εκείνα τα περίφημα γεωμετρικά «σανγκάκου» που κρέμονταν κάποτε ως αναθήματα στους τοίχους ναών.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →