📜 Το αξίωμα
Σκεφτείτε έναν αριθμό μεγαλύτερο από το 1. Διπλασιάστε τον.
Το αξίωμα του Μπερτράν (Bertrand's postulate) λέει ότι:
«Μεταξύ αυτών των δύο τιμών υπάρχει τουλάχιστον ένας πρώτος αριθμός.»
Δηλαδή, για κάθε ακέραιο \( n > 1 \), υπάρχει ένας πρώτος \( p \) τέτοιος ώστε \( n < p < 2n \) .
📖 Ιστορία και αποδείξεις
Το 1845, ο Joseph Bertrand διατύπωσε την υπόθεση αυτή και την επιβεβαίωσε για αριθμούς μέχρι τα 3 εκατομμύρια . Το 1850, ο Ρώσος μαθηματικός Pafnuty Chebyshev έδωσε την πρώτη πλήρη απόδειξη . Γι' αυτό το θεώρημα είναι γνωστό και ως θεώρημα Bertrand–Chebyshev .
Αργότερα, ο Srinivasa Ramanujan έδωσε μια συντομότερη απόδειξη το 1919 , ενώ το 1932 ο Paul Erdős, σε ηλικία μόλις 19 ετών, δημοσίευσε μια κομψή στοιχειώδη απόδειξη στην πρώτη του εργασία . Η απόδειξη του Erdős βασίζεται στην ανάλυση του διωνυμικού συντελεστή \( \binom{2n}{n} \) .
Αξίζει να σημειωθεί ότι η απόδειξη του Erdős, όπως και του Ramanujan, βασίστηκε σε προηγούμενες ιδέες του Chebyshev, αλλά τις παρουσίασαν με πιο απλό και κομψό τρόπο .
💡 Γιατί είναι σημαντικό;
Το αξίωμα του Μπερτράν είναι ένα από τα πιο απλά και ισχυρά θεωρήματα για την κατανομή των πρώτων αριθμών. Αν και το Θεώρημα των Πρώτων Αριθμών είναι πολύ ισχυρότερο, η απόδειξή του είναι πολύ πιο δύσκολη .
Το αξίωμα του Μπερτράν έχει πολλές εφαρμογές:
- Μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε για να δείξουμε ότι υπάρχουν τουλάχιστον τρεις πρώτοι αριθμοί με οποιοδήποτε δεδομένο αριθμό ψηφίων .
- Αποτελεί βασικό εργαλείο για την απόδειξη της ανισότητας του Bonse .
- Έχει συνδεθεί με το πρόβλημα της δημιουργίας ζευγών από τους πρώτους \( 2k \) ακεραίους ώστε τα αθροίσματά τους να είναι πρώτοι .
Το θεώρημα αυτό έχει επεκταθεί με διάφορους τρόπους. Για παράδειγμα, ο Nagura απέδειξε το 1952 ότι για \( n \geq 25 \), υπάρχει πάντα ένας πρώτος στο διάστημα \( (n, 1.2n) \) .
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου