📜 Ένα θαύμα 2.300 ετών
Στα μαθηματικά μπορούμε να βρούμε πραγματικά θαύματα: η αρχή της επαγωγής, η υπερβατικότητα των e και π, η γενική λύση της τεταρτοβάθμιας εξίσωσης, το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat, ή η αρρητότητα της \(\sqrt{2}\). Αλλά ας δούμε σήμερα ένα αποτέλεσμα γνωστό από τότε που το δημοσίευσε ο ίδιος ο Ευκλείδης στο έργο του Στοιχεία: την απειρία του συνόλου των πρώτων αριθμών.
🧮 Η απόδειξη του ίδιου του Ευκλείδη
Η απόδειξη είναι τόσο απλή όσο και λαμπρή. Υποθέτουμε ότι το σύνολο των πρώτων αριθμών είναι πεπερασμένο — δηλαδή, ότι υπάρχουν μόνο οι πρώτοι \(p_1, p_2, \ldots, p_n\), και κανένας άλλος. Σχηματίζουμε με αυτούς τον αριθμό:
Εξ ορισμού, ο N είναι μεγαλύτερος από οποιονδήποτε από τους πρώτους \(p_i\). Επίσης, για τον ίδιο λόγο, διαιρώντας τον N με οποιονδήποτε από αυτούς τους πρώτους, το υπόλοιπο είναι πάντα 1 — δηλαδή, ο N δεν διαιρείται από κανέναν από τους πρώτους της αρχικής μας λίστας.
Τι σημαίνει αυτό; Πολύ απλά: είτε ο ίδιος ο N είναι πρώτος αριθμός, είτε — αν δεν είναι — διαιρείται από κάποιον άλλο πρώτο αριθμό, που δεν εμφανίζεται στην αρχική μας λίστα. Και οι δύο περιπτώσεις έρχονται σε πλήρη αντίφαση με την αρχική μας υπόθεση, ότι οι \(p_1,\ldots,p_n\) ήταν οι μοναδικοί πρώτοι αριθμοί που υπάρχουν. Άρα, η υπόθεση αυτή ήταν ψευδής — και καταλήγουμε ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι, τελικά, άπειροι.
Ένα συγκεκριμένο παράδειγμα δείχνει καθαρά τη λογική: για τους πρώτους 2, 3, 5, 7, 11, 13, ο αριθμός \(N=2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13+1=30031\) δεν είναι ο ίδιος πρώτος — αλλά διαιρείται από τους πρώτους 59 και 509, κανέναν από τους οποίους δεν περιείχε η αρχική λίστα.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου