📐 Ορισμός
Ο περιγεγραμμένος κύκλος ενός πολυγώνου είναι ο κύκλος που περιέχει όλες τις κορυφές του. Το κέντρο του, συνήθως συμβολιζόμενο με O, είναι το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των πλευρών του πολυγώνου — αφού το κέντρο ενός κύκλου ισαπέχει πάντα από τα δύο άκρα κάθε χορδής του, άρα βρίσκεται πάνω στη μεσοκάθετο της.
Στην περίπτωση ενός γενικού n-γώνου, το κέντρο βρίσκεται στο σημείο όπου τέμνονται οι μεσοκάθετοι όχι μόνο των πλευρών, αλλά και όλων των διαγωνίων του.
🔍 Πότε υπάρχει, και πότε είναι μοναδικός
Ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί γύρω από ένα n-γωνο αν και μόνο αν όλες οι μεσοκάθετοι των πλευρών του τέμνονται σε ένα κοινό σημείο. Όταν υπάρχει, ο περιγεγραμμένος κύκλος είναι πάντα μοναδικός.
Για τρίγωνα, ο περιγεγραμμένος κύκλος υπάρχει πάντα, χωρίς καμία εξαίρεση. Για τετράπλευρα, όμως, αυτό δεν ισχύει αυτόματα — ένα τετράπλευρο δέχεται περιγεγραμμένο κύκλο αν και μόνο αν το άθροισμα δύο απέναντι γωνιών του ισούται με 180°. Γενικότερα, για οποιοδήποτε n-γωνο, μπορεί να περιγραφεί κύκλος γύρω του αν και μόνο αν ένας κύκλος μπορεί να σχεδιαστεί μέσα από οποιεσδήποτε τέσσερις κορυφές του.
Κάθε κανονικό πολύγωνο (με ίσες πλευρές και ίσες γωνίες) δέχεται πάντα περιγεγραμμένο κύκλο. Επίσης, κάθε απλό πολύγωνο (χωρίς αυτοτομές στο περίγραμμά του) γύρω από το οποίο μπορεί να περιγραφεί κύκλος είναι αναγκαστικά κυρτό.
📈 Η πιο εντυπωσιακή ιδιότητα: το μέγιστο εμβαδόν
Ανάμεσα σε όλα τα δυνατά πολύγωνα με τα ίδια, δεδομένα μήκη πλευρών (με την ίδια σειρά), το κυρτό εγγεγραμμένο σε κύκλο πολύγωνο είναι πάντα εκείνο με το μέγιστο δυνατό εμβαδόν. Για τετράπλευρα, αυτό είναι άμεση συνέπεια του γενικευμένου τύπου του Βραχμαγκούπτα.
Ισχύει μάλιστα και το αντίστροφο ενδιαφέρον αποτέλεσμα: αν δοθούν n ευθύγραμμα τμήματα από τα οποία μπορεί να σχηματιστεί έστω κι ένα n-γωνο, τότε μπορεί πάντα να σχηματιστεί —χωρίς να αλλάξει η σειρά των πλευρών— ένα κυρτό n-γωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο, το οποίο μάλιστα είναι μοναδικό.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου