✨ Δύο όμορφες ταυτότητες Fibonacci

Η ακολουθία Fibonacci αρχίζει με \(F_1=F_2=1\) και κάθε επόμενος όρος είναι το άθροισμα των δύο προηγουμένων:

\[F_{n+2}=F_{n+1}+F_n.\]

Από αυτόν τον απλό κανόνα προκύπτουν δύο εντυπωσιακά σύντομοι τύποι.

1. Το άθροισμα των πρώτων όρων

\[\sum_{i=1}^{n}F_i=F_{n+2}-1.\]

Παράδειγμα για \(n=5\): \[1+1+2+3+5=12=F_7-1=13-1.\]

Δείτε την απόδειξη

Από την αναδρομή έχουμε \(F_i=F_{i+2}-F_{i+1}\). Επομένως το άθροισμα γίνεται τηλεσκοπικό:

\[\sum_{i=1}^{n}F_i=\sum_{i=1}^{n}(F_{i+2}-F_{i+1}) =(F_3-F_2)+(F_4-F_3)+\cdots +(F_{n+2}-F_{n+1}) =F_{n+2}-F_2=F_{n+2}-1.\]

2. Το άθροισμα των τετραγώνων

\[\sum_{i=1}^{n}F_i^2=F_nF_{n+1}.\]

Παράδειγμα για \(n=5\): \[1^2+1^2+2^2+3^2+5^2=40=F_5F_6=5\cdot8.\]

Δείτε την απόδειξη με επαγωγή

Για \(n=1\), ισχύει \(F_1^2=F_1F_2=1\). Υποθέτουμε ότι \(\sum_{i=1}^{n}F_i^2=F_nF_{n+1}\). Τότε:

\[\sum_{i=1}^{n+1}F_i^2 =F_nF_{n+1}+F_{n+1}^2 =F_{n+1}(F_n+F_{n+1}) =F_{n+1}F_{n+2}.\]

Άρα η ταυτότητα ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο \(n\).

Γεωμετρική ιδέα: Αν τοποθετήσουμε διαδοχικά τετράγωνα με πλευρές \(F_1,F_2,\ldots,F_n\), τα εμβαδά τους αθροίζονται σε ένα ορθογώνιο με πλευρές \(F_n\) και \(F_{n+1}\). Έτσι «βλέπουμε» τη δεύτερη ταυτότητα.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →