🎓 IMO 1988: Το Πρόβλημα που Δυσκόλεψε ακόμη και τους Ειδικούς

Ένα από τα διασημότερα προβλήματα στην ιστορία της Διεθνούς Μαθηματικής Ολυμπιάδας είναι το 6ο πρόβλημα της 29ης IMO, η οποία διεξήχθη στην Καμπέρα της Αυστραλίας το 1988.

Σύμφωνα με τη γνωστή αφήγηση γύρω από τον διαγωνισμό, το πρόβλημα δυσκόλεψε ακόμη και έμπειρους μαθηματικούς που επιχείρησαν να το λύσουν. Παρ’ όλα αυτά, 11 διαγωνιζόμενοι κατόρθωσαν να πάρουν την πλήρη βαθμολογία. Η λύση του έγινε κλασικό παράδειγμα μιας πανίσχυρης τεχνικής της θεωρίας αριθμών: της καθόδου του Vieta (Vieta jumping).

✒️ Το πρόβλημα

Έστω ότι οι θετικοί ακέραιοι \(a,b,q\) ικανοποιούν τη σχέση

\[a^2+b^2=q(ab+1).\]

Να αποδείξετε ότι ο \(q\) είναι τέλειο τετράγωνο.

💡 Η βασική ιδέα

Θεωρούμε την αρχική σχέση ως δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς έναν από τους δύο αριθμούς. Οι τύποι του Vieta μάς δίνουν μια δεύτερη ακέραια ρίζα και, επομένως, μια νέα λύση της ίδιας εξίσωσης. Αν το \(q\) δεν είναι τετράγωνο, η νέα λύση είναι μικρότερη από την αρχική. Επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία, θα οδηγούμασταν σε μια αδύνατη άπειρη φθίνουσα ακολουθία θετικών ακεραίων.

📘 Η απόδειξη

Υποθέτουμε, προς άτοπο, ότι υπάρχει λύση για την οποία το \(q\) δεν είναι τέλειο τετράγωνο. Από όλες τις λύσεις με το ίδιο αυτό \(q\), επιλέγουμε μία για την οποία το \(a+b\) είναι το μικρότερο δυνατό. Επειδή η εξίσωση είναι συμμετρική ως προς \(a,b\), μπορούμε να υποθέσουμε ότι

\[a\ge b.\]

Θεωρούμε την εξίσωση ως δευτεροβάθμια ως προς \(a\):

\[a^2-qba+(b^2-q)=0.\]

Η μία ρίζα είναι ο ακέραιος \(a\). Από τους τύπους του Vieta, η άλλη ρίζα είναι επίσης ακέραια και ισούται με

\[c=qb-a.\]

Επιπλέον, το γινόμενο των δύο ριζών δίνει

\[ac=b^2-q.\]

1. Γιατί ισχύει \(c\ge 0\);

Αν ήταν \(c<0 ac="b^2-q\)" c="" le-1="" p="">

\[q-b^2=-ac\ge a, \qquad\text{άρα}\qquad q\ge a+b^2\ge a+1.\]

Από την αρχική εξίσωση όμως, χρησιμοποιώντας \(a\ge b\ge1\), παίρνουμε

\[q=\frac{a^2+b^2}{ab+1} <\frac{a^2+b^2}{ab} =\frac{a}{b}+\frac{b}{a} \le a+1,\]

που είναι αντίφαση. Επομένως \(c\ge0\).

2. Γιατί ισχύει \(0

Αν \(c=0\), τότε από το \(ac=b^2-q\) θα είχαμε \(q=b^2\), δηλαδή το \(q\) θα ήταν τέλειο τετράγωνο — αντίθετα με την υπόθεσή μας. Άρα \(c>0\).

Παράλληλα,

\[c=\frac{b^2-q}{a}<\frac{b^2}{a}\le b.\]

Συνεπώς \(0

3. Η αντίφαση

Εφόσον το \(c\) είναι η δεύτερη ρίζα της ίδιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης, οι θετικοί ακέραιοι \(b,c,q\) ικανοποιούν επίσης

\[b^2+c^2=q(bc+1).\]

Άρα η \((b,c)\) είναι νέα θετική ακέραια λύση. Επειδή \(0

\[b+c

γεγονός που αντιφάσκει με την επιλογή της \((a,b)\) ως λύσης με ελάχιστο άθροισμα. Η αρχική υπόθεση ήταν λοιπόν αδύνατη.

Επομένως, αν \(a^2+b^2=q(ab+1)\) για θετικούς ακεραίους \(a,b,q\), τότε

ο \(q\) είναι τέλειο τετράγωνο. □

🔁 Τι είναι η κάθοδος του Vieta;

Είναι μια τεχνική για διοφαντικές εξισώσεις δευτέρου βαθμού. Από μία θετική ακέραια λύση κατασκευάζουμε, μέσω των τύπων του Vieta, μια δεύτερη μικρότερη λύση. Αν είχε επιλεγεί εξαρχής η μικρότερη δυνατή λύση, η ύπαρξη ακόμη μικρότερης δημιουργεί αντίφαση. Η τεχνική αυτή έγινε ιδιαίτερα γνωστή χάρη στο συγκεκριμένο πρόβλημα της IMO 1988.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →