🧩 Το Πρόβλημα με το (n+7)/√(n-1) - Εύρεση Ακεραίων Λύσεων

🔢 Το πρόβλημα

Να υπολογιστεί το άθροισμα όλων των θετικών ακεραίων \( n \) για τα οποία η παράσταση είναι ακέραιος:

\[ \frac{n + 7}{\sqrt{n - 1}} \]

Ζητείται το άθροισμα όλων των \( n \) που ικανοποιούν τη συνθήκη.

🧠 Η βασική παρατήρηση

Αφού \( n \) είναι θετικός ακέραιος, ο αριθμητής \( n + 7 \) είναι επίσης ακέραιος.

Για να είναι ολόκληρη η παράσταση ακέραιος, ο παρονομαστής \( \sqrt{n - 1} \) πρέπει να είναι ακέραιος.

Γιατί;

• Δεν μπορεί να είναι άρρητος, γιατί τότε η παράσταση θα ήταν άρρητη.
• Δεν μπορεί να είναι μη-ακέραιος ρητός, γιατί η τετραγωνική ρίζα ενός ακεραίου είναι είτε ακέραιος είτε άρρητος.

Άρα, \( \sqrt{n - 1} = k \), όπου \( k \) είναι θετικός ακέραιος.

🔍 Δείτε τη λύση

Θέτουμε \( \sqrt{n - 1} = k \), με \( k \in \mathbb{Z}^+ \). Τότε \( n = k^2 + 1 \).

Η παράσταση γίνεται:

\[ \frac{k^2 + 1 + 7}{k} = \frac{k^2 + 8}{k} = k + \frac{8}{k} \]

Για να είναι ακέραιος, πρέπει \( \frac{8}{k} \) να είναι ακέραιος, άρα ο \( k \) πρέπει να είναι διαιρέτης του 8.

Οι θετικοί διαιρέτες του 8 είναι: \( 1, 2, 4, 8 \).

Άρα:

• \( k = 1 \Rightarrow n = 1^2 + 1 = 2 \)
• \( k = 2 \Rightarrow n = 2^2 + 1 = 5 \)
• \( k = 4 \Rightarrow n = 4^2 + 1 = 17 \)
• \( k = 8 \Rightarrow n = 8^2 + 1 = 65 \)

Το άθροισμα των \( n \) είναι:

\[ 2 + 5 + 17 + 65 = 89 \]

\[ \boxed{89} \]

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →