🔢 Γιατί οι Repunit Numbers Ποτέ Δεν Γίνονται Τέλεια Τετράγωνα;

🔍 Τι είναι οι Repunit Numbers

Οι οι αριθμοί επαναλαμβανόμενης μονάδας είναι οι αριθμοί που αποτελούνται μόνο από 1: 1, 11, 111, 1111, 11111... Λέγονται έτσι από το "repeated unit" = επαναλαμβανόμενη μονάδα.

Συμβολίζονται ως Rₙ όπου n το πλήθος των ψηφίων, και υπάρχει ο όμορφος τύπος:

Rₙ = 11...11 (n ψηφία) = (10ⁿ - 1) / 9

Για παράδειγμα: R₃ = 111 = (1000-1)/9 = 999/9 = 111. Το ερώτημα είναι: μπορεί κάποιος από αυτούς (μετά το 1) να είναι τέλειο τετράγωνο;

🧮 Τι υπόλοιπο αφήνουν τα τετράγωνα;

Ένα πολύ χρήσιμο κόλπο στη θεωρία αριθμών είναι να κοιτάμε τα υπόλοιπα όταν διαιρούμε με το 4. Όλα τα τέλεια τετράγωνα αφήνουν πάντα υπόλοιπο 0 ή 1:

0² = 0 → 0 mod 4
1² = 1 → 1 mod 4
2² = 4 → 0 mod 4
3² = 9 → 1 mod 4
Άρα k² ≡ 0 ή 1 (mod 4) — ΠΟΤΕ 2 ή 3

Αυτό θα είναι το κλειδί μας.

✨ Η πανέξυπνη απόδειξη των 2 γραμμών

Κοιτάξτε έναν αριθμό Repunit με n ≥ 2 ψηφία. Πάντα τελειώνει σε ...11:

Rₙ = 100 × m + 11

Όμως το 100 διαιρείται ακριβώς με το 4 (100 = 4 × 25), άρα 100 ≡ 0 (mod 4). Επομένως:

Rₙ ≡ 11 ≡ 3 (mod 4) για κάθε n ≥ 2

Δείτε:

• R₂ = 11 → 11 ÷ 4 = 2 υπόλοιπο 3
• R₃ = 111 = 100 + 11 → υπόλοιπο 3
• R₄ = 1111 = 1100 + 11 → υπόλοιπο 3
• R₅ = 11111 → πάντα υπόλοιπο 3

🏁 Το συμπέρασμα

Έχουμε σύγκρουση:

Αριθμός Repunit Rₙ (n≥2) ≡ 3 (mod 4)
Τέλειο τετράγωνο ≡ 0 ή 1 (mod 4)

Άρα κανένας Rₙ με n ≥ 2 δεν μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο!

Rₙ > 1 ⇒ Rₙ ≠ k²
Μοναδικό τετράγωνο ανάμεσα στους αριθμούς Repunit: R₁ = 1 = 1²

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →