🔺 Ποιος Αριθμός Ακολουθεί Μετά το 1, 3, 6, 10, 15, 21;

🔺 Ποιος αριθμός έρχεται μετά;

Μια απλή ακολουθία, ένα όμορφο γεωμετρικό μοτίβο — και μια μικρή λογική παγίδα.

Το πρόβλημα

Παρατηρήστε την αριθμητική ακολουθία:

1, 3, 6, 10, 15, 21, …

Ποιος αριθμός έρχεται μετά;

Μικρή υπόδειξη: Μην κοιτάτε μόνο τους ίδιους τους όρους. Εξετάστε πόσο αυξάνεται κάθε όρος σε σχέση με τον προηγούμενο.

👁️ Εμφάνιση της λύσης

Η φυσική απάντηση είναι 28

Υπολογίζουμε τις διαφορές ανάμεσα σε διαδοχικούς όρους:

3−1
2

6−3
3

10−6
4

15−10
5

21−15
6

Οι αυξήσεις είναι διαδοχικά (2,3,4,5,6). Η επόμενη αύξηση είναι επομένως 7:

\[21+7=\boxed{28}\]

🔺 Οι τριγωνικοί αριθμοί

Η ακολουθία δεν είναι απλώς ένα μοτίβο διαφορών. Οι όροι της είναι οι τριγωνικοί αριθμοί: αριθμοί από κουκκίδες που μπορούν να διαταχθούν σε ισόπλευρο τριγωνικό σχήμα.

\[T_n=1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\]

Για (n=7):

\[T_7=\frac{7\cdot8}{2}=28\]

Γεωμετρικά, κάθε νέος τριγωνικός αριθμός δημιουργείται προσθέτοντας μία ακόμη σειρά κουκκίδων: δύο κουκκίδες στη δεύτερη σειρά, τρεις στην τρίτη, τέσσερις στην τέταρτη και ούτω καθεξής.

🧩 Γιατί ο τύπος είναι \(n(n+1)/2\);

Πάρτε δύο ίδια τριγωνικά σύνολα με (T_n) κουκκίδες και ενώστε τα. Σχηματίζουν ένα ορθογώνιο με (n) σειρές και (n+1) στήλες. Άρα τα δύο τρίγωνα περιέχουν συνολικά (n(n+1)) κουκκίδες:

\[2T_n=n(n+1)\quad\Longrightarrow\quad T_n=\frac{n(n+1)}{2}\]

⚠️ Υπάρχει όμως μόνο μία σωστή απάντηση;

Αν υποθέσουμε το απλούστερο και πιο φυσικό μοτίβο, η απάντηση είναι ασφαλώς 28. Από αυστηρά λογική άποψη, όμως, κανένα πεπερασμένο σύνολο όρων δεν καθορίζει μοναδικά τη συνέχεια μιας ακολουθίας.

Μπορούμε να κατασκευάσουμε διαφορετικούς κανόνες που συμφωνούν στους έξι πρώτους όρους και δίνουν οποιονδήποτε αριθμό θέλουμε ως έβδομο. Επομένως η πλήρης διατύπωση της απάντησης είναι:

Ο επόμενος όρος είναι 28, αν ο κανόνας είναι η ακολουθία των τριγωνικών αριθμών.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →