12 Σεπτεμβρίου 1680 📜 Ο Leibniz και το «Όνειρο του Πρωτοετή

📜 12 Σεπτεμβρίου 1680: Μια Σημείωση του Leibniz που Κρύβει τον Fermat

Στις 12 Σεπτεμβρίου 1680, ο Gottfried Wilhelm Leibniz κατέγραψε στο χειρόγραφό του Formarum reductio ad simplices μια εξαιρετικά κομψή αριθμοθεωρητική σχέση.

Για πρώτο αριθμό \(p\):

\[ \boxed{ a^p+b^p+c^p+\cdots \equiv (a+b+c+\cdots)^p \pmod p } \]

Η σχέση μοιάζει με το λανθασμένο, γενικά, «άνοιγμα» μιας δύναμης αθροίσματος. Όμως όταν εργαζόμαστε modulo έναν πρώτο αριθμό \(p\), γίνεται πράγματι σωστή.

Γιατί συμβαίνει αυτό;

Στο διωνυμικό ανάπτυγμα του \((a+b)^p\), όλοι οι ενδιάμεσοι διωνυμικοί συντελεστές

\[ \binom{p}{1},\binom{p}{2},\ldots,\binom{p}{p-1} \]

είναι πολλαπλάσια του \(p\), επειδή το \(p\) είναι πρώτος. Επομένως εξαφανίζονται όταν υπολογίζουμε modulo \(p\), και απομένει:

\[ \boxed{(a+b)^p\equiv a^p+b^p\pmod p} \]

Η ιδιότητα αυτή είναι σήμερα γνωστή χαριτολογώντας και ως «Freshman's Dream» — το «όνειρο του πρωτοετή».

Και κάπου εδώ εμφανίζεται ο Fermat

Από την ίδια ιδέα προκύπτει η γνωστή μορφή του Μικρού Θεωρήματος του Fermat:

\[ \boxed{n^p\equiv n\pmod p} \]

για κάθε ακέραιο \(n\) και κάθε πρώτο \(p\).

Ο Leibniz οδηγήθηκε σε τέτοιες σχέσεις καθώς αναζητούσε τρόπους για τον έλεγχο πρώτων αριθμών και τη μελέτη της αναγωγής δυνάμεων και αθροισμάτων.

Μια μικρή σημείωση του 1680 συνδέει το διωνυμικό θεώρημα, τους πρώτους αριθμούς και το Μικρό Θεώρημα του Fermat σε μία μόνο γραμμή.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →