🌍 Η Ελλάδα ως Σφαιρικό Τρίγωνο – Πόσο Ξεπερνούν οι Γωνίες τις 180°;

🌍 Αν η Ελλάδα Ήταν ένα Σφαιρικό Τρίγωνο...

Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία γνωρίζουμε ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι

\[ 180^\circ. \]

Τι συμβαίνει όμως αν το τρίγωνο δεν βρίσκεται σε ένα επίπεδο, αλλά πάνω στην επιφάνεια μιας σφαίρας;

Ένα τρίγωνο με τρεις ορθές γωνίες!

Ας θεωρήσουμε, για απλότητα, ότι η Γη είναι μια τέλεια σφαίρα. Οι πλευρές ενός σφαιρικού τριγώνου είναι τόξα μεγάλων κύκλων.

Φανταστείτε ένα τρίγωνο με μία κορυφή στον Βόρειο Πόλο και τις άλλες δύο πάνω στον ισημερινό, σε γεωγραφικά μήκη που διαφέρουν κατά \(90^\circ\).

Οι δύο πλευρές που καταλήγουν στον Βόρειο Πόλο είναι τμήματα μεσημβρινών, ενώ η τρίτη πλευρά βρίσκεται πάνω στον ισημερινό.

Το εντυπωσιακό είναι ότι και οι τρεις γωνίες του είναι ορθές:

\[ 90^\circ+90^\circ+90^\circ=270^\circ. \]

Το άθροισμα των γωνιών του λοιπόν δεν είναι \(180^\circ\), αλλά \(270^\circ\). Μάλιστα, αυτό το σφαιρικό τρίγωνο καταλαμβάνει ακριβώς το \(1/8\) της επιφάνειας της σφαίρας.

📐 Η σφαιρική περίσσεια

Αν οι γωνίες ενός σφαιρικού τριγώνου είναι \(A\), \(B\) και \(C\), τότε η ποσότητα

\[ E=A+B+C-\pi \]

όταν οι γωνίες μετρώνται σε ακτίνια, ονομάζεται σφαιρική περίσσεια.

Για μια σφαίρα ακτίνας \(R\), το εμβαδόν \(S\) του σφαιρικού τριγώνου συνδέεται με τη σφαιρική περίσσεια μέσω του θεωρήματος του Girard:

\[ \boxed{S=R^2E}. \]

Έτσι, όσο μεγαλύτερο είναι το σφαιρικό τρίγωνο, τόσο περισσότερο το άθροισμα των γωνιών του ξεπερνά τις \(180^\circ\).

🇬🇷 Η πρόκληση

Αν ένα σφαιρικό τρίγωνο στην επιφάνεια της Γης είχε το ίδιο εμβαδόν με την Ελλάδα, ποια θα ήταν η σφαιρική περίσσειά του;

Με άλλα λόγια, κατά πόσο θα ξεπερνούσε το άθροισμα των γωνιών του τις \(180^\circ\);

Για τον υπολογισμό χρησιμοποιήστε προσεγγιστικά:

\[ S=132\,000\ {\rm km}^2 \]

και μέση ακτίνα της Γης

\[ R=6371\ {\rm km}. \]

🔍 Δείτε τη λύση

Από το θεώρημα του Girard,

\[ S=R^2E, \]

οπότε

\[ E=\frac{S}{R^2}. \]

Αντικαθιστούμε:

\[ E= \frac{132\,000}{6371^2} \approx0.003252\ {\rm rad}. \]

Μετατρέποντας τα ακτίνια σε μοίρες:

\[ E\approx0.1863^\circ. \]

Δηλαδή περίπου

\[ \boxed{E\approx11'11''}. \]

Επομένως, αν ένα σφαιρικό τρίγωνο είχε εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν της Ελλάδας, το άθροισμα των γωνιών του θα ήταν περίπου

\[ \boxed{180.186^\circ} \]

ή, ισοδύναμα, περίπου

\[ \boxed{180^\circ\,11'\,11''}. \]

Σε ένα μικρό τρίγωνο στην επιφάνεια της Γης η διαφορά από τις \(180^\circ\) είναι πρακτικά ανεπαίσθητη. Σε ένα τρίγωνο όμως με εμβαδόν όσο ολόκληρη η Ελλάδα, η καμπυλότητα της Γης γίνεται ήδη μετρήσιμη μέσα από τις ίδιες τις γωνίες του.

Σημείωση: Ο υπολογισμός θεωρεί τη Γη τέλεια σφαίρα και χρησιμοποιεί προσεγγιστικό εμβαδόν της Ελλάδας \(132\,000\ {\rm km}^2\).

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →