Νικολάι Ιβάνοβιτς Λομπατσέφσκι (1792–1856): Ο Πατέρας της Μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Ο Νικολάι Ιβάνοβιτς Λομπατσέφσκι γεννήθηκε στις 20 Νοεμβρίου / 1 Δεκεμβρίου 1792 στο Νίζνι Νόβγκοροντ της Ρωσίας και πέθανε στις 12 / 24 Φεβρουαρίου 1856 στην Καζάν, στη σημερινή Δημοκρατία του Ταταρστάν. Ήταν Ρώσος μαθηματικός, γνωστός ως ένας από τους θεμελιωτές της μη Ευκλείδειας γεωμετρίας.

Γιος υπαλλήλου στο Κτηματολογικό Γραφείο, έχασε τον πατέρα του σε νεαρή ηλικία. Το 1802 η μητέρα του εγκαταστάθηκε με τα παιδιά στην Καζάν, όπου ο Λομπατσέφσκι φοίτησε στο τοπικό γυμνάσιο και το 1807 αποφοίτησε με άριστα, λαμβάνοντας

ΒΙΒΛΙΟ: Euclidean and Non - Euclidean Geometries (pdf)

 

Click on the image.

🔺 Ελλειπτική Γεωμετρία: Όταν το Άθροισμα των Γωνιών Ξεπερνά τους 180°

Το απλούστερο και πιο κατανοητό μοντέλο για την ελλειπτική γεωμετρία είναι η επιφάνεια μιας σφαίρας, όπου οι «ευθείες» αντιστοιχούν σε μεγάλους κύκλους —όπως ο Ισημερινός ή οι μεσημβρινοί σε μια υδρόγειο σφαίρα. 

Σε αυτό το μοντέλο, κάθε σημείο ταυτίζεται με το αντίποδό του (δηλαδή, τα διαμετρικά αντίθετα σημεία θεωρούνται ταυτόσημα).

Διάφορες Γεωμετρίες: Από τον Ευκλείδη έως τη Σύγχρονη Μαθηματική Έρευνα

Εισαγωγή

Η γεωμετρία, ως θεμελιώδης κλάδος των μαθηματικών, έχει υποστεί ριζικές μεταμορφώσεις από την εποχή του Ευκλείδη έως σήμερα. Ο όρος «Μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες» παραδοσιακά αναφέρεται στις γεωμετρίες των Riemann και Lobachevsky, όμως η σύγχρονη μαθηματική έρευνα έχει αποκαλύψει έναν ολόκληρο κόσμο γεωμετρικών δομών που επεκτείνουν και εμβαθύνουν την αρχική ευκλείδεια αντίληψη.

Από τη στιγμή που τα αξιώματα του Ευκλείδη, τα οποία παρέμεναν επί 2.300 χρόνια αδιαμφισβήτητα, τέθηκαν υπό μαθηματική εξέταση, ανοίχθηκε ο δρόμος για την ανακάλυψη και ανάπτυξη πολλαπλών μορφών γεωμετρίας.

Η Παρουσίαση της Μη-Ευκλείδειας Γεωμετρίας από τον Λομπατσέφσκι (12 Φεβρουαρίου 1826)

Σαν σήμερα, στις 12 Φεβρουαρίου 1826, ο Ρώσος μαθηματικός Νικολάι Λομπατσέφσκι παρουσίασε μια επαναστατική εργασία στα τμήματα Μαθηματικών και Φυσικής του Πανεπιστημίου του Καζάν, η οποία θα άλλαζε για πάντα την κατανόηση της γεωμετρίας. 

Στην εργασία του, ανέπτυξε τις ιδέες του για την "φανταστική γεωμετρία", η οποία σήμερα είναι γνωστή ως υπερβολική γεωμετρία ή μη-ευκλείδεια γεωμετρία.

Non-Euclidean Geometry

Non-Euclidean Geometry

Υπερβολικά πλακίδια Mona-Lisa

Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μόνο τρίγωνα, τετράγωνα ή εξάγωνα εάν θέλετε να πλακοστρώσουμε μία επίπεδη επιφάνεια χρησιμοποιώντας κανονικά πολύγωνα. 

Η συνολική γωνία κατά την περιστροφή γύρω από μια κορυφή ενός πολυγώνου πρέπει να είναι 360 μοίρες και δεδομένου ότι οι γωνίες όλων των κανονικών πολυγώνων εξαρτώνται από το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου, αυτές είναι οι μόνες επιλογές στην Ευκλείδεια Γεωμετρία.

Ideal Triangles in the Poincaré disc

In hyperbolic geometry, an ideal triangle has angle sum $0$, infinite perimeter, and area pi.

Non-Euclidean Geometry: mainen

Ευκλείδεια και μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες

Ντοστογιέφσκι και μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες

Η Ευκλείδεια Γεωμετρία που μάθατε στο σχολείο ήταν πιθανώς μια μοντέρνα έκδοση του περίφημου βιβλίου «Στοιχεία» που έγραψε γύρω στο 300 π.Χ. ο Ευκλείδης. Λέγεται ότι αυτό το βιβλίο είναι το πιο πολυδιαβασμένο μετά τη βίβλο και θεωρείται ως το αρχέτυπο ενός αυστηρού συμπερασματικού συστήματος. Στο πρώτο από τα δεκατρία «κεφάλαια» των Στοιχείων διατυπώνoνται εκτός από τους ορισμούς και 5 Αιτήματα (ή Αξιώματα) για την Γεωμετρία:

Τα 5 Αιτήματα του Ευκλείδη

1ο Αίτημα: Μπορούμε να φέρουμε μια ευθεία γραμμή από οποιοδήποτε σημείο προς οποιοδήποτε σημείο.

▪ Η Γεωμετρία του Riemann

Οι μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες-Υπερβολική Γεωμετρία

Η γεωμετρία είναι συνώνυμο της Ευκλείδειας γεωμετρίας, σωστά; Οι περισσότεροι θα απαντούσαν καταφατικά, αλλά στην πραγματικότητα αυτή είναι η μισή αλήθεια. 

Η γεωμετρία, δηλαδή ο τρόπος με τον οποίο περιγράφουμε τον χώρο γύρω μας, δεν είναι μονοσήμαντα ορισμένη, είναι κατασκευασμένη με τέτοιο τρόπο ώστε να μας είναι πιο βολική η χρήση της. Όντα σε κάποιον μακρινό γαλαξία ή σε ένα παράλληλο σύμπαν, που έχουν ακολουθήσει διαφορετικές νοητικές διαδικασίες και έχουν δεχτεί άλλα ερεθίσματα , θα έχουν καταλήξει σε μη ευκλείδειες γεωμετρίες, ίσως και τετραδιάστατες, για να περιγράψουν το περιβάλλον τους.

▪ Hyperbolic Geometry

Κάντε κλικ εδώ.

▪ Φούσκωνε ο Riemann μπαλόνια;

«..Έτσι, καθώς η απείρως ευθεία γραμμή δεν υπάρχει, αφού τελικά μετατρέπεται σε καμπύλη, δεν υπάρχει ούτε και ευθύ επίπεδο, αφού αν το προεκτείνουμε, πρέπει να ακολουθήσει την καμπυλότητα του σύμπαντος. Καθώς όμως θα την ακολουθήσει σε όλες τις διευθύνσεις, το μοναδικό καμπύλο επίπεδο είναι σφαιρικό. Δεν υπάρχει άλλη γεωμετρία πλην αυτής που περιγράφεται πάνω σε μία σφαίρα.»

Μπέρνχαρτ Ρίμαν (Bernhard Riemann)

Σημείωση: To πρόβλημα που ακολουθεί είναι αποκλειστικά δικής μου εμπνεύσεως και κατασκευής. Η αναπαραγωγή του είναι ελεύθερη με αναφορά στην πηγή (το ιστολόγιο) και στον δημιουργό του.

▪ Το Σύμπαν που αγάπησα

Nτοκιμαντέρ για την χρήση των μη ευκλείδειων γεωμετριών στην μελέτη του σύμπαντος, από την εκπομπή της ΕΤ3, "Το Σύμπαν που αγάπησα", με τον επίκουρο καθηγητή αστροφυσικής Μάνο Δανέζη.