Τι κοινό κρύβουν οι παρακάτω φαινομενικά ξεχωριστοί τετραψήφιοι αριθμοί;
\[2357,\ 1113,\ 1719,\ 2329,\ 3137,\ 4143\]
Υπόδειξη: Τα κόμματα μπορεί να βρίσκονται σε παραπλανητικές θέσεις. Δοκιμάστε να ενώσετε όλα τα ψηφία σε μία αδιάκοπη σειρά.
Εμφάνιση λύσης
Αφαιρούμε τα κόμματα και ξαναχωρίζουμε τα ψηφία ως εξής:
\[2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,\ldots\]
Πρόκειται ακριβώς για τους διαδοχικούς πρώτους αριθμούς. Αν τους παραθέσουμε χωρίς κενά μετά από ένα δεκαδικό ψηφίο, σχηματίζεται ο αριθμός
\[C=0{,}235711131719232931374143\ldots\]
Ο αριθμός αυτός ονομάζεται σταθερά Copeland–Erdős. Ορίστηκε με τη διαδοχική παράθεση όλων των πρώτων αριθμών στη δεκαδική γραφή τους.
Άρα οι δοσμένοι «όροι» είναι απλώς διαδοχικά τμήματα τεσσάρων ψηφίων της ίδιας ατελείωτης δεκαδικής ακολουθίας:
\[2357\mid1113\mid1719\mid2329\mid3137\mid4143\mid\cdots\]
Γιατί είναι σημαντικός;
Το 1946 οι Arthur Copeland και Paul Erdős απέδειξαν ότι ο αριθμός αυτός είναι κανονικός στη βάση 10. Αυτό σημαίνει ότι, μακροπρόθεσμα, κάθε ψηφίο από το 0 έως το 9 εμφανίζεται με την ίδια συχνότητα \(1/10\), κάθε ζεύγος ψηφίων με συχνότητα \(1/100\), και γενικά κάθε συγκεκριμένη ομάδα \(k\) ψηφίων με συχνότητα \(10^{-k}\).
Με απλά λόγια, παρότι ο αριθμός κατασκευάζεται με έναν απολύτως καθορισμένο κανόνα —την παράθεση των πρώτων— η δεκαδική του ανάπτυξη παρουσιάζει την ομοιόμορφη κατανομή ψηφίων που περιμένουμε από μια «τυχαία» ακολουθία.
Η έκπληξη:
μια φαινομενικά άτακτη σειρά ψηφίων κρύβει όλους τους πρώτους αριθμούς — και ταυτόχρονα δημιουργεί έναν κανονικό δεκαδικό αριθμό.
Για κοινοποίηση: Τι κρύβεται πίσω από τους αριθμούς 2357, 1113, 1719, 2329, 3137 και 4143; Η απάντηση οδηγεί σε μία από τις πιο ενδιαφέρουσες σταθερές της θεωρίας αριθμών.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου