🟡 Τέσσερις εφαπτόμενοι κύκλοι — Ποια είναι η πράσινη γωνία;

Τέσσερις κύκλοι βρίσκονται ανάμεσα σε δύο ευθείες που τέμνονται. Κάθε κύκλος εφάπτεται και στις δύο ευθείες, ενώ διαδοχικοί κύκλοι εφάπτονται και μεταξύ τους, όπως στο σχήμα.

Ο μεγαλύτερος, κίτρινος κύκλος έχει εμβαδόν

\[ 5\text{ cm}^2, \]

ενώ ο μικρότερος, μωβ κύκλος έχει εμβαδόν

\[ 1\text{ cm}^2. \]

❓ Ποιο είναι το μέτρο της πράσινης γωνίας;

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Αν οι δύο ευθείες σχηματίζουν γωνία \(\theta\), τα κέντρα όλων των κύκλων βρίσκονται στη διχοτόμο της γωνίας.

Για έναν κύκλο ακτίνας \(r\), εξετάστε το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται από την κορυφή της γωνίας, το κέντρο του κύκλου και ένα σημείο επαφής.

Αν \(d\) είναι η απόσταση του κέντρου από την κορυφή, τότε

\[ r=d\sin\frac{\theta}{2}. \]

Χρησιμοποιήστε τώρα το γεγονός ότι δύο διαδοχικοί κύκλοι εφάπτονται. Θα προκύψει ότι οι ακτίνες τους σχηματίζουν γεωμετρική πρόοδο.

Τέλος, από τα εμβαδά των ακραίων κύκλων μπορείτε να βρείτε τον λόγο των ακτίνων τους:

\[ \frac{R}{r} = \sqrt{\frac{5}{1}}. \]

Προσέξτε ότι από τον κίτρινο μέχρι τον μωβ κύκλο υπάρχουν τρεις διαδοχικές μεταβάσεις. Αυτό αρκεί για να προσδιορίσετε τον κοινό λόγο και, τελικά, τη γωνία \(\theta\).

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →