🔴 Δύο μπάλες και μια παραβολή — Πόσο κοντά μπορούν να βρεθούν;

Το κέντρο μιας μπάλας ακολουθεί μια παραβολική τροχιά που περνά από τα σημεία

\[ (-6,0),\qquad(0,18),\qquad(6,0). \]

Μια δεύτερη μπάλα παραμένει μυστηριωδώς ακίνητη, με το κέντρο της στο σημείο

\[ (0,9). \]

Και οι δύο μπάλες έχουν διάμετρο \(1\) cm.

🧠 Πρόκληση

Καθώς η πρώτη μπάλα κινείται πάνω στην παραβολή, ποια είναι η ελάχιστη δυνατή απόσταση μεταξύ των δύο μπαλών;

Προσοχή: δεν ζητείται απλώς η μικρότερη απόσταση ανάμεσα στα κέντρα τους.

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Ξεκινήστε βρίσκοντας την εξίσωση της παραβολής. Λόγω συμμετρίας έχει τη μορφή

\[ y=ax^2+18. \]

Χρησιμοποιήστε ένα από τα σημεία \((6,0)\) ή \((-6,0)\) για να προσδιορίσετε το \(a\).

Έπειτα θεωρήστε ένα μεταβλητό σημείο της παραβολής

\[ P=(x,y) \]

και υπολογίστε την απόστασή του από το σταθερό σημείο

\[ Q=(0,9). \]

Για να αποφύγετε τη ρίζα, είναι ευκολότερο να ελαχιστοποιήσετε πρώτα το τετράγωνο της απόστασης:

\[ PQ^2=x^2+(y-9)^2. \]

Αντικαταστήστε το \(y\) από την εξίσωση της παραβολής και αναζητήστε την ελάχιστη τιμή.

Και μία τελευταία λεπτομέρεια: όταν βρείτε την ελάχιστη απόσταση των κέντρων, θυμηθείτε ότι κάθε μπάλα έχει ακτίνα \(\frac12\) cm. Τι πρέπει λοιπόν να αφαιρέσετε για να βρείτε την πραγματική απόσταση ανάμεσα στις επιφάνειές τους;

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →