📐 Αλγεβρικές Ταυτότητες: Όταν η Άλγεβρα Γίνεται Γεωμετρία

Οι γνωστές αλγεβρικές ταυτότητες δεν είναι απλώς κανόνες συμβολικών υπολογισμών. Μπορούν να αποκτήσουν μια πολύ όμορφη γεωμετρική ερμηνεία, αν θεωρήσουμε τα γινόμενα ως εμβαδά ορθογωνίων και τετραγώνων.

Το τετράγωνο του αθροίσματος

Ένα τετράγωνο πλευράς \(a+b\) έχει εμβαδό \((a+b)^2\). Αν το χωρίσουμε όπως στο σχήμα, προκύπτουν δύο τετράγωνα με εμβαδά \(a^2\) και \(b^2\) και δύο ίσα ορθογώνια, καθένα με εμβαδό \(ab\).

Επομένως, το συνολικό εμβαδό γράφεται

\[ \boxed{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2} \]

Το τετράγωνο της διαφοράς

Με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να δώσουμε γεωμετρική ερμηνεία και στο τετράγωνο μιας διαφοράς. Ξεκινώντας από ένα τετράγωνο πλευράς \(a\) και αφαιρώντας κατάλληλα εμβαδά που σχετίζονται με το \(b\), προκύπτει η ταυτότητα

\[ \boxed{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2} \]

Η διαφορά δύο τετραγώνων

Ιδιαίτερα κομψή είναι η γεωμετρική ερμηνεία της διαφοράς δύο τετραγώνων. Το \(a^2-b^2\) εκφράζει τη διαφορά των εμβαδών δύο τετραγώνων με πλευρές \(a\) και \(b\).

Με κατάλληλη αναδιάταξη των τμημάτων, το ίδιο εμβαδό σχηματίζει ένα ορθογώνιο με πλευρές \(a-b\) και \(a+b\). Έτσι προκύπτει

\[ \boxed{a^2-b^2=(a-b)(a+b)} \]

Η επιμεριστική ιδιότητα ως εμβαδό

Ακόμη και η επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού μπορεί να «διαβαστεί» γεωμετρικά.

Ένα ορθογώνιο με πλευρές \(a\) και \(b+c\) έχει συνολικό εμβαδό \(a(b+c)\). Αν το χωρίσουμε σε δύο ορθογώνια με πλευρές \(a,b\) και \(a,c\), τότε τα επιμέρους εμβαδά είναι \(ab\) και \(ac\).

\[ \boxed{a(b+c)=ab+ac} \]

Άλγεβρα και Γεωμετρία περιγράφουν την ίδια μαθηματική σχέση με δύο διαφορετικές γλώσσες:

η μία με σύμβολα και πράξεις, η άλλη με μήκη, σχήματα και εμβαδά.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →