🔴Δύο παραβολές, τέσσερα σημεία και ένας κύκλος

Μια παραβολή με κατακόρυφο άξονα και μια δεύτερη παραβολή με οριζόντιο άξονα τέμνονται σε τέσσερα διαφορετικά σημεία \(A,B,C,D\).

🧠 Πρόκληση

Να αποδείξετε ότι τα τέσσερα σημεία τομής \[ \boxed{A,\;B,\;C,\;D} \] βρίσκονται πάνω στον ίδιο κύκλο.

Το εντυπωσιακό είναι ότι δεν απαιτείται καμία ιδιαίτερη συμμετρία μεταξύ των δύο παραβολών. Αρκεί οι άξονές τους να είναι κάθετοι μεταξύ τους.

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Εδώ η Αναλυτική Γεωμετρία κάνει το πρόβλημα πολύ πιο προσιτό.

Γράψτε τις δύο παραβολές στη γενική μορφή

\[ y=ax^2+bx+c \] και \[ x=dy^2+ey+f. \]

Κάθε κοινό σημείο των δύο παραβολών ικανοποιεί και τις δύο εξισώσεις.

Προσπαθήστε λοιπόν να συνδυάσετε κατάλληλα τις εξισώσεις τους ώστε να εξαφανιστούν οι όροι \(x^2\) και \(y^2\) με τον ίδιο συντελεστή.

Αναζητήστε μια εξίσωση της μορφής

\[ x^2+y^2+Dx+Ey+F=0. \]

Αν καταφέρετε να δείξετε ότι κάθε κοινό σημείο των δύο παραβολών ικανοποιεί μία τέτοια εξίσωση, τι γεωμετρικό αντικείμενο περιγράφει αυτή;

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →