🎲 Τρία ζάρια και δύο είδη προόδων — Ποια είναι η πιθανότητα;

🎲 Τρία ζάρια και δύο είδη προόδων

Ρίχνουμε τρία συνηθισμένα εξάεδρα ζάρια και καταγράφουμε, με τη σειρά, τους τρεις αριθμούς που εμφανίζονται.

Μας ενδιαφέρει η περίπτωση κατά την οποία οι τρεις αριθμοί σχηματίζουν είτε αριθμητική πρόοδο είτε γεωμετρική πρόοδο.

Μια τριάδα

\[ a,\;b,\;c \]

είναι αριθμητική πρόοδος όταν

\[ b-a=c-b, \]

ενώ είναι γεωμετρική πρόοδος όταν ο λόγος διαδοχικών όρων παραμένει σταθερός.

❓ Πρόβλημα

Ποια είναι η πιθανότητα οι αριθμοί που θα εμφανιστούν στα τρία ζάρια, με τη σειρά που εμφανίζονται, να σχηματίζουν αριθμητική ή γεωμετρική πρόοδο;

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Ξεκίνα από το πλήθος όλων των δυνατών διατεταγμένων αποτελεσμάτων των τριών ζαριών.

Στη συνέχεια μέτρησε χωριστά τις τριάδες που αποτελούν αριθμητική πρόοδο και εκείνες που αποτελούν γεωμετρική πρόοδο.

Προσοχή: Υπάρχουν τριάδες που μπορεί να ανήκουν και στις δύο κατηγορίες.

🔍 Εμφάνιση λύσης

Τα τρία ζάρια δίνουν συνολικά

\[ 6^3=216 \]

διατεταγμένα αποτελέσματα.

Για τις αριθμητικές προόδους έχουμε τις έξι σταθερές τριάδες

\[ (1,1,1),\ldots,(6,6,6), \]

και τις μη σταθερές:

\[ (1,2,3),(3,2,1), \] \[ (2,3,4),(4,3,2), \] \[ (3,4,5),(5,4,3), \] \[ (4,5,6),(6,5,4), \] \[ (1,3,5),(5,3,1), \] \[ (2,4,6),(6,4,2). \]

Άρα έχουμε συνολικά

\[ 18 \]

αριθμητικές προόδους.

Για τις γεωμετρικές προόδους, εκτός από τις έξι σταθερές τριάδες, έχουμε

\[ (1,2,4) \qquad\text{και}\qquad (4,2,1). \]

Επομένως υπάρχουν συνολικά \(8\) γεωμετρικές πρόοδοι.

Οι έξι σταθερές τριάδες έχουν μετρηθεί και στις δύο κατηγορίες. Με την αρχή της ένταξης–απαλοιφής, τα ευνοϊκά αποτελέσματα είναι

\[ 18+8-6=20. \]

Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι

\[ \boxed{ P=\frac{20}{216}=\frac{5}{54} } \]

δηλαδή περίπου \[ 9{,}26\%. \]

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →