🧱 Πώς Κατασκευάζουμε Όσους Διαδοχικούς Σύνθετους Αριθμούς Θέλουμε

Παραγοντικά · Διαιρετότητα · Κενά πρώτων

🧱 Ένα Τείχος από Σύνθετους Αριθμούς

Μπορούμε να δημιουργήσουμε όσους διαδοχικούς σύνθετους θέλουμε

🎯 Η πρόκληση

Διαλέξτε έναν οποιονδήποτε θετικό ακέραιο \(N\). Μπορείτε να γράψετε αμέσως μια ακολουθία από \(N\) διαδοχικούς αριθμούς, κανένας από τους οποίους δεν είναι πρώτος;

Η απάντηση κρύβεται στο παραγοντικό:

\[ (N+1)!+2, (N+1)!+3,ldots, (N+1)!+(N+1). \]

🔍 Γιατί είναι όλοι σύνθετοι;

Για κάθε ακέραιο \(k\) με \(2\le k\le N+1\), ο αριθμός \((N+1)!\) διαιρείται με το \(k\). Άρα

\[ (N+1)!+k=k\left(\frac{(N+1)!}{k}+1\right). \]

Έχουμε λοιπόν γινόμενο δύο ακεραίων μεγαλύτερων του \(1\). Επομένως ο αριθμός είναι σύνθετος.

Καθώς το \(k\) παίρνει διαδοχικά τις τιμές \(2,3,ldots,N+1\), προκύπτουν ακριβώς \(N\) διαδοχικοί σύνθετοι αριθμοί.

🔐 Παράδειγμα για \(N=4\)

Έχουμε \((N+1)!=5!=120\). Οι τέσσερις διαδοχικοί αριθμοί είναι:

Αριθμός	Παραγοντοποίηση
122	\(2\cdot61\)
123	\(3\cdot41\)
124	\(4\cdot31\)
125	\(5\cdot25=5^3\)

Άρα οι \(122,123,124,125\) είναι τέσσερις διαδοχικοί σύνθετοι αριθμοί.

🌌 Τι μας λέει αυτό για τους πρώτους;

Η κατασκευή αποδεικνύει ότι υπάρχουν διαστήματα χωρίς κανέναν πρώτο αριθμό, με μήκος όσο μεγάλο θέλουμε. Οι πρώτοι είναι άπειροι, αλλά δεν εμφανίζονται σε σταθερές αποστάσεις.

Για κάθε \(N\), υπάρχει κάπου στην αριθμητική ευθεία ένα τμήμα τουλάχιστον \(N\) διαδοχικών ακεραίων που είναι όλοι σύνθετοι. Με άλλα λόγια, τα κενά ανάμεσα σε διαδοχικούς πρώτους δεν έχουν άνω φράγμα.

⚠️ Τι δεν αποδεικνύει η κατασκευή;

Δεν ισχυρίζεται ότι οι αριθμοί ακριβώς πριν και μετά το κατασκευασμένο μπλοκ είναι πρώτοι. Επομένως δεν μας δίνει αυτομάτως δύο διαδοχικούς πρώτους με απόσταση ακριβώς \(N+1\).

Επίσης, το \((N+1)!\) μεγαλώνει εξαιρετικά γρήγορα. Η μέθοδος εγγυάται ένα μπλοκ σύνθετων, αλλά συνήθως πολύ μακρύτερα στην αριθμητική ευθεία από όσο είναι πραγματικά αναγκαίο.

🧠 Μια εναλλακτική κατασκευή

Μπορούμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε το \((N+1)!\) ως κοινό πολλαπλάσιο και να εξετάσουμε τους αριθμούς

\[ (N+1)!+2,ldots,(N+1)!+N+1. \]

Η ιδέα γενικεύεται: οποιοδήποτε κοινό πολλαπλάσιο των \(2,3,\ldots,N+1\) μπορεί να αντικαταστήσει το παραγοντικό. Για παράδειγμα, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το

\[\operatorname{lcm}(2,3,\ldots,N+1),\]

το οποίο συχνά είναι πολύ μικρότερο από το \((N+1)!\).

🎯 Το συμπέρασμα

Οι πρώτοι αριθμοί συνεχίζονται επ’ άπειρον, αλλά ανάμεσά τους μπορούν να ανοίγονται αυθαίρετα μεγάλες «έρημοι» σύνθετων αριθμών. Μια απλή ιδιότητα του παραγοντικού αρκεί για να κατασκευάσει μια τέτοια έρημο οποιουδήποτε επιθυμητού μήκους.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →

Σχετικά άρθρα