🔍 Σπάνια αθροίσματα — και μια αναγκαία διόρθωση

Δύο εντυπωσιακοί ισχυρισμοί κυκλοφορούν μαζί: ότι υπάρχουν ακριβώς 31 θετικοί ακέραιοι που δεν γράφονται ως άθροισμα διαφορετικών τετραγώνων και ότι υπάρχει μόνο ένας πρώτος αριθμός που ισούται με το άθροισμα των ψηφίων της έβδομης δύναμής του. Ο πρώτος ισχυρισμός είναι σωστός. Ο δεύτερος, όμως, είναι λανθασμένος.

Οι 31 εξαιρέσεις

Ζητούμε αναπαραστάσεις της μορφής

\[n=a_1^2+a_2^2+\cdots+a_k^2,\qquad a_1,a_2,\ldots,a_k\ \text{διαφορετικοί θετικοί ακέραιοι}.\]

Για παράδειγμα,

\[30=1^2+2^2+3^2+4^2,\qquad 41=4^2+5^2.\]

Οι μόνοι θετικοί ακέραιοι που δεν μπορούν να γραφούν με αυτόν τον τρόπο είναι οι εξής:

2, 3, 6, 7, 8, 11, 12, 15, 18, 19, 22, 23, 24, 27, 28, 31, 32, 33, 43, 44, 47, 48, 60, 67, 72, 76, 92, 96, 108, 112, 128.

Είναι ακριβώς 31 αριθμοί. Ο μεγαλύτερος είναι το \(128\), και κάθε ακέραιος μεγαλύτερος από το \(128\) μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα διαφορετικών τετραγώνων.

Ο ισχυρισμός για τις έβδομες δυνάμεις

Ας συμβολίσουμε με \(s(m)\) το άθροισμα των δεκαδικών ψηφίων του αριθμού \(m\). Ο δεύτερος ισχυρισμός λέει ότι υπάρχει ένας μόνο πρώτος \(p\) για τον οποίο

\[p=s(p^7).\]

Αυτό δεν ισχύει. Υπάρχουν ακριβώς τρεις τέτοιοι πρώτοι:

\[\boxed{31,\quad43,\quad53}.\]

🧮 Δείτε την επαλήθευση

Για τον \(31\):

\[31^7=27512614111,\]

\[2+7+5+1+2+6+1+4+1+1+1=31.\]

Για τον \(43\):

\[43^7=271818611107,\]

\[2+7+1+8+1+8+6+1+1+1+0+7=43.\]

Και για τον \(53\):

\[53^7=1174711139837,\]

\[1+1+7+4+7+1+1+1+3+9+8+3+7=53.\]

Γιατί ξέρουμε ότι δεν υπάρχουν άλλοι;

Αν ο πρώτος \(p\) έχει \(d\) ψηφία, τότε το \(p^7\) έχει το πολύ \(7d\) ψηφία. Επομένως,

\[s(p^7)\leq9\cdot7d=63d.\]

Αν ίσχυε \(p=s(p^7)\), θα έπρεπε να έχουμε \(p\leq63d\). Για \(d\geq4\), όμως, ισχύει \(p\geq10^{d-1}>63d\), άρα αυτό είναι αδύνατο. Για τριψήφιο \(p\), η ίδια ανισότητα δίνει \(p\leq189\). Συνεπώς αρκεί ένας πεπερασμένος έλεγχος των πρώτων μέχρι το \(189\), ο οποίος δίνει μόνο τους \(31,43,53\).

Το πραγματικό μάθημα

Οι εντυπωσιακές μαθηματικές προτάσεις χρειάζονται έλεγχο, ακόμη κι όταν εμφανίζονται σε βιβλίο. Εδώ ένας σύντομος υπολογισμός όχι μόνο διορθώνει τον ισχυρισμό, αλλά αποκαλύπτει ένα ωραιότερο αποτέλεσμα: οι λύσεις δεν είναι μία, αλλά ακριβώς τρεις.

Υπολογιστικός έλεγχος: Για το πρώτο μέρος χρησιμοποιήθηκε δυναμικός έλεγχος αθροισμάτων διαφορετικών τετραγώνων. Για το δεύτερο ελέγχθηκαν όλοι οι πρώτοι μέχρι το θεωρητικό άνω φράγμα \(189\).

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →