📐 Ο ξεχασμένος Νόμος των Εφαπτομένων — Ένα πρόβλημα τριγωνομετρίας

📐 Ο «ξεχασμένος» Νόμος των Εφαπτομένων

Όλοι γνωρίζουμε τον Νόμο των Ημιτόνων και τον Νόμο των Συνημιτόνων. Υπάρχει όμως και ένας τρίτος, πολύ κομψός τύπος που σήμερα χρησιμοποιείται πολύ λιγότερο:

Νόμος των Εφαπτομένων \[ \boxed{ \frac{a-b}{a+b} = \frac{ \tan\left(\frac{A-B}{2}\right) }{ \tan\left(\frac{A+B}{2}\right) } } \]

όπου \(a,b\) είναι δύο πλευρές ενός τριγώνου και \(A,B\) οι απέναντι γωνίες τους αντίστοιχα.

🧠 Πρόκληση

Σε ένα τρίγωνο γνωρίζουμε δύο πλευρές:

\[ a=123\text{ mm}, \qquad b=277\text{ mm}, \]

καθώς και την περιεχόμενη γωνία τους:

\[ C=43^\circ30'. \]

Να υπολογίσετε τις άλλες δύο γωνίες \(A\) και \(B\) χρησιμοποιώντας μόνο τον Νόμο των Εφαπτομένων.

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Αφού

\[ A+B+C=180^\circ, \]

γνωρίζετε αμέσως το άθροισμα \(A+B\).

Άρα γνωρίζετε και τη γωνία

\[ \frac{A+B}{2}. \]

Στον Νόμο των Εφαπτομένων

\[ \frac{a-b}{a+b} = \frac{ \tan\left(\frac{A-B}{2}\right) }{ \tan\left(\frac{A+B}{2}\right) }, \]

το μόνο άγνωστο πλέον είναι ουσιαστικά η ποσότητα

\[ \frac{A-B}{2}. \]

Βρείτε την και στη συνέχεια χρησιμοποιήστε ταυτόχρονα το άθροισμα \(A+B\) και τη διαφορά \(A-B\) για να προσδιορίσετε τις δύο γωνίες.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →