🔢 Μια άπειρη ακολουθία χωρίς κανέναν πρώτο αριθμό

Ας πάρουμε τα εννέα μη μηδενικά ψηφία

\[ 9,8,7,6,5,4,3,2,1 \]

και ας αρχίσουμε να σχηματίζουμε φυσικούς αριθμούς, προσθέτοντας κάθε φορά το επόμενο ψηφίο. Όταν φτάσουμε στο \(1\), ξεκινάμε πάλι από το \(9\).

Έτσι προκύπτει η άπειρη ακολουθία:

\[ 9 \] \[ 98 \] \[ 987 \] \[ 9876 \] \[ 98765 \] \[ 987654 \] \[ 9876543 \] \[ 98765432 \] \[ 987654321 \] \[ 9876543219 \] \[ 98765432198 \] \[ \vdots \]

Το εντυπωσιακό είναι ότι, όσο κι αν συνεχίσουμε, φαίνεται πως δεν συναντάμε ούτε έναν πρώτο αριθμό.

🤔 Η πρόκληση

Αποδείξτε ότι κάθε αριθμός αυτής της άπειρης ακολουθίας είναι σύνθετος.

💡 Υπόδειξη: Δεν χρειάζεται να παραγοντοποιήσετε κανέναν μεγάλο αριθμό.
Κοιτάξτε μόνο το τελευταίο ψηφίο και το άθροισμα των ψηφίων.

🔍 Εμφάνιση απόδειξης

Ας συμβολίσουμε με \(N_k\) τον αριθμό που αποτελείται από τα πρώτα \(k\) ψηφία της άπειρης περιοδικής ακολουθίας

\[ 987654321987654321\ldots \]

Το κρίσιμο σημείο είναι ότι τα ψηφία επαναλαμβάνονται σε κύκλους μήκους 9.

Άρα αρκεί να εξετάσουμε τι συμβαίνει ανάλογα με το υπόλοιπο του \(k\) στη διαίρεση με το \(9\).

1️⃣ Οι αριθμοί που τελειώνουν σε άρτιο ψηφίο

Αν

\[ k\equiv2,4,6,8\pmod9, \]

τότε ο αριθμός τελειώνει αντίστοιχα σε

\[ 8,\quad6,\quad4,\quad2. \]

Επομένως είναι άρτιος και άρα:

\[ \boxed{2\mid N_k}. \]

Εφόσον οι αριθμοί αυτοί είναι μεγαλύτεροι από \(2\), είναι όλοι σύνθετοι.

2️⃣ Οι αριθμοί που τελειώνουν σε 5

Αν

\[ k\equiv5\pmod9, \]

τότε το τελευταίο ψηφίο είναι \(5\).

Άρα:

\[ \boxed{5\mid N_k}, \]

και επομένως ο αριθμός είναι σύνθετος.

3️⃣ Τι απέμεινε;

Έχουμε ήδη καλύψει τις περιπτώσεις

\[ 2,4,5,6,8\pmod9. \]

Μένουν μόνο:

\[ \boxed{0,1,3,7\pmod9}. \]

Εδώ θα χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα διαιρετότητας με το \(3\).

Το άθροισμα των ψηφίων ενός ολόκληρου κύκλου είναι:

\[ 9+8+7+6+5+4+3+2+1=45. \]

Και φυσικά:

\[ 45\equiv0\pmod3. \]

Άρα κάθε πλήρης ομάδα των εννέα ψηφίων δεν αλλάζει το υπόλοιπο του αθροίσματος των ψηφίων modulo \(3\).

Ας εξετάσουμε λοιπόν μόνο όσα ψηφία περισσεύουν μετά τους πλήρεις κύκλους.

\(k\bmod9\)	Επιπλέον ψηφία	Άθροισμα
0	κανένα	\(0\)
1	\(9\)	\(9\)
3	\(9,8,7\)	\(24\)
7	\(9,8,7,6,5,4,3\)	\(42\)

Και οι τέσσερις αριθμοί

\[ 0,\quad9,\quad24,\quad42 \]

είναι πολλαπλάσια του \(3\).

Άρα σε όλες τις υπόλοιπες περιπτώσεις:

\[ \boxed{3\mid N_k}. \]

🎯 Τώρα έχουμε καλύψει τα πάντα

Οι εννέα δυνατές θέσεις μέσα στον κύκλο είναι:

\[ 0,1,2,3,4,5,6,7,8\pmod9. \]

Και χωρίζονται σε τρεις ομάδες:

\[ \begin{array}{c|c} k\bmod9 & \text{Διαιρέτης του }N_k\\ \hline 2,4,6,8 & 2\\ 5 & 5\\ 0,1,3,7 & 3 \end{array} \]

Επομένως κάθε όρος της ακολουθίας έχει έναν από τους διαιρέτες

\[ \boxed{2,\;3,\;5}. \]

Ο πρώτος όρος είναι \(9=3^2\), ενώ όλοι οι επόμενοι είναι μεγαλύτεροι από τους αντίστοιχους διαιρέτες τους.

🏁 Συμπέρασμα \[ \boxed{\text{Κανένας όρος της ακολουθίας δεν είναι πρώτος.}} \]

Όλοι οι αριθμοί \[ 9,\;98,\;987,\;9876,\ldots \] είναι σύνθετοι.

Το όμορφο είναι ότι πρόκειται για μια άπειρη ακολουθία με ολοένα μεγαλύτερους αριθμούς, αλλά για να αποδείξουμε ότι κανένας τους δεν είναι πρώτος δεν χρειάζεται ούτε μία δύσκολη παραγοντοποίηση.

Αρκούν οι πιο απλοί κανόνες διαιρετότητας που μαθαίνουμε στο σχολείο.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →