🔢 Μια Ασυνήθιστη Συνεχής Κλασματική Παράσταση του e

✏️ Η ταυτότητα προς απόδειξη

Να αποδειχθεί ότι ισχύει:

\[ 2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{2}{3 + \cfrac{3}{4 + \cfrac{4}{5 + \cdots}}}}} = e \]

Υπολογίζοντας την παράσταση αναδρομικά από το βάθος προς την κορυφή, ήδη με 20 «ορόφους» εμφωλευμένων κλασμάτων, η τιμή ταυτίζεται με το \(e=2{,}718281828459\ldots\) με ακρίβεια μηχανής (διαφορά μικρότερη από \(10^{-15}\)).

📜 Μια «όμορφη, μη τυπική» ταυτότητα του Euler

Σύμφωνα με τη Wolfram MathWorld, αυτή η συγκεκριμένη μορφή αναφέρεται ως «μια όμορφη μη τυπική συνεχής κλασματική παράσταση για το e» (πηγή: Wall, Analytic Theory of Continued Fractions, 1948, σ. 348). 

Διαφέρει από την πιο γνωστή, «απλή» συνεχή κλασματική παράσταση του Euler, \(e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,\ldots]\), όπου όλοι οι αριθμητές είναι 1· εδώ, αντίθετα, οι αριθμητές αυξάνονται σταθερά (\(1,2,3,4,5,\ldots\)), δίνοντας μια εναλλακτική, εξίσου κομψή αναπαράσταση του ίδιου αριθμού.

Και οι δύο μορφές ανάγονται τελικά στη γενική μέθοδο του Euler για τη μετατροπή απειροσειρών σε συνεχή κλάσματα, μια τεχνική που ανέπτυξε συστηματικά στο έργο του Introductio in Analysin Infinitorum (1748).

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →