🧮 Η Εικασία του Euler που Κατέρρευσε έπειτα από Σχεδόν Δύο Αιώνες

Μια μαθηματική εικασία μπορεί να επιβιώσει για αιώνες και παρ’ όλα αυτά να καταρρεύσει από ένα και μόνο αντιπαράδειγμα. Μια από τις ωραιότερες τέτοιες ιστορίες συνδέει τον Leonhard Euler με την εμφάνιση των ισχυρών ηλεκτρονικών υπολογιστών.

📜 Η εικασία

Εμπνευσμένος από το πρόβλημα που σήμερα γνωρίζουμε ως Τελευταίο Θεώρημα του Fermat, ο Euler διατύπωσε μια πολύ φυσική γενίκευση:

για \(n>2\), πίστευε ότι χρειάζονται τουλάχιστον \(n\) θετικές \(n\)-οστές δυνάμεις ώστε το άθροισμά τους να είναι επίσης μια \(n\)-οστή δύναμη.

\[ a_1^n+a_2^n+\cdots+a_k^n=b^n \quad\Longrightarrow\quad k\ge n. \]

Για παράδειγμα, στην περίπτωση \(n=5\), η εικασία προέβλεπε ότι δεν θα μπορούσαν τέσσερις θετικές πέμπτες δυνάμεις να έχουν άθροισμα μία πέμπτη δύναμη.

💻 Το 1966: ο υπολογιστής βρίσκει το αντιπαράδειγμα

Το 1966 οι L. J. Lander και T. R. Parkin πραγματοποίησαν άμεση υπολογιστική αναζήτηση χρησιμοποιώντας έναν CDC 6600.

Και βρήκαν αυτό που για σχεδόν δύο αιώνες δεν είχε βρεθεί.

🔍 Δείτε το αντιπαράδειγμα

\[ \boxed{ 27^5+84^5+110^5+133^5=144^5 } \]

Στην αριστερή πλευρά υπάρχουν μόλις τέσσερις πέμπτες δυνάμεις.

Η εικασία του Euler απαιτούσε τουλάχιστον πέντε.

Ένα μόνο αντιπαράδειγμα ήταν αρκετό: η εικασία ήταν λανθασμένη.

🔎 Γιατί είναι τόσο σημαντικό ένα μόνο παράδειγμα;

Η εικασία έκανε έναν καθολικό ισχυρισμό: ότι κάτι είναι αδύνατο για όλους τους θετικούς ακεραίους.

Για να αποδειχθεί ένας τέτοιος ισχυρισμός χρειάζεται απόδειξη που να καλύπτει όλες τις περιπτώσεις. Για να καταρριφθεί, όμως, αρκεί μία περίπτωση που τον παραβιάζει.

\[ 27^5+84^5+110^5+133^5=144^5 \]

δεν είναι απλώς μια παράξενη αριθμητική ταυτότητα. Είναι ένα αντιπαράδειγμα που καταρρίπτει ολόκληρη την αρχική εικασία.

⏳ Και η περίπτωση \(n=4\);

Η ιστορία δεν τελείωσε το 1966. Η περίπτωση των τετάρτων δυνάμεων,

\[ a^4+b^4+c^4=d^4, \]

παρέμεινε ανοιχτή περισσότερο.

Ο Noam Elkies απέδειξε τελικά ότι υπάρχουν λύσεις και σε αυτή την εξίσωση· η εργασία του δημοσιεύτηκε το 1988. Έτσι και για \(n=4\), τρεις τέταρτες δυνάμεις μπορούν να αθροίζονται σε μία τέταρτη δύναμη.

🌟 Το μάθημα της ιστορίας

Η ιστορία δεν μειώνει σε τίποτε τον Euler. Αντίθετα, δείχνει κάτι θεμελιώδες για τον τρόπο με τον οποίο προχωρούν τα μαθηματικά.

Μια εικασία μπορεί να είναι εύλογη, να υποστηρίζεται από πολλά παραδείγματα και να παραμένει αμφισβήτητη για γενιές. Μέχρι να υπάρξει απόδειξη, όμως, παραμένει εικασία.

Και μερικές φορές ένας μόνο αριθμητικός συνδυασμός αρκεί για να αλλάξει μια ιστορία σχεδόν δύο αιώνων.

📚 Πηγές:

• L. J. Lander & T. R. Parkin, Counterexample to Euler's Conjecture on Sums of Like Powers, Bulletin of the American Mathematical Society, 1966. American Mathematical Society

• Eric W. Weisstein, Euler's Sum of Powers Conjecture – MathWorld

• Noam D. Elkies, On \(A^4+B^4+C^4=D^4\), Mathematics of Computation 51 (1988), 825–835. American Mathematical Society

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →