📏 Η Σταθερά Euler–Mascheroni σε Δύο Απρόσμενους Μέσους Όρους

Διαιρέτες · Πρώτοι αριθμοί · Μέσοι όροι

📏 Δύο Απρόσμενες Εμφανίσεις της \(\gamma\)

Η σταθερά Euler–Mascheroni εκεί όπου δεν θα την περιμέναμε

🔹 Η σταθερά Euler–Mascheroni

Η σταθερά \(\gamma\) ορίζεται από τη διαφορά ανάμεσα στην αρμονική σειρά και στον φυσικό λογάριθμο:

\[ \gamma=\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n-\ln n\right) =0{,}5772156649\ldots \]

Παρότι γεννιέται από μια διαφορά αθροίσματος και ολοκληρώματος, εμφανίζεται ξανά σε φαινομενικά άσχετα προβλήματα της θεωρίας αριθμών.

➗ Ο μέσος αριθμός διαιρετών

Ας συμβολίσουμε με \(d(k)\) το πλήθος των θετικών διαιρετών του \(k\). Για παράδειγμα, \(d(12)=6\), επειδή οι διαιρέτες του \(12\) είναι \(1,2,3,4,6,12\).

Ο Dirichlet απέδειξε ότι

\[ \sum_{k\le n}d(k) =n\ln n+(2\gamma-1)n+O(\sqrt n). \]

Διαιρώντας με \(n\), ο μέσος αριθμός διαιρετών των ακεραίων από το \(1\) έως το \(n\) είναι

\[ \frac1n\sum_{k=1}^n d(k) =\ln n+2\gamma-1+O\!\left(\frac1{\sqrt n}\right). \]

Άρα η έκφραση \(\ln n+2\gamma-1\) δεν είναι ακριβής ισότητα για κάθε \(n\), αλλά η κύρια ασυμπτωτική συμπεριφορά του μέσου όρου.

🔐 Η γεωμετρική ιδέα του Dirichlet

Το άθροισμα \(\sum_{k\le n}d(k)\) μετρά τα ζεύγη θετικών ακεραίων \((a,b)\) που ικανοποιούν \(ab\le n\). Πρόκειται για τα σημεία με ακέραιες συντεταγμένες κάτω από την υπερβολή \(ab=n\).

Χωρίζοντας την περιοχή γύρω από το \(\sqrt n\), ο Dirichlet απέφυγε τη διπλή καταμέτρηση και έδειξε ότι

\[ \sum_{k\le n}d(k) =2\sum_{a\le\sqrt n}\left\lfloor\frac na\right\rfloor -\left\lfloor\sqrt n\right\rfloor^2. \]

Η σύγκριση του αρμονικού αθροίσματος με τον λογάριθμο φέρνει φυσικά στο προσκήνιο τη \(\gamma\).

🎯 Το θεώρημα του de la Vallée Poussin

Για κάθε πρώτο \(p\le n\), διαιρούμε το \(n\) με το \(p\) και μετράμε πόσο υπολείπεται το πηλίκο από τον αμέσως επόμενο ακέραιο. Η ποσότητα αυτή γράφεται

\[ \Delta_p(n)=\left\lceil\frac np\right\rceil-\frac np. \]

Αν το \(p\) διαιρεί το \(n\), θέτουμε φυσικά \(\Delta_p(n)=0\), αφού το πηλίκο είναι ήδη ακέραιο.

Ο Charles-Jean de la Vallée Poussin απέδειξε το 1898 ότι

\[ \lim_{n\to\infty} \frac1{\pi(n)}\sum_{p\le n}\Delta_p(n)=\gamma, \]

όπου \(\pi(n)\) είναι το πλήθος των πρώτων που δεν υπερβαίνουν το \(n\).

🧪 Το παράδειγμα του 29

Διαιρώντας το \(29\) με το \(2\), παίρνουμε

\[\frac{29}{2}=14{,}5.\]

Ο επόμενος ακέραιος είναι το \(15\), επομένως

\[15-14{,}5=0{,}5.\]

Το θεώρημα δεν αφορά μία μεμονωμένη διαίρεση, αλλά τον μέσο όρο αυτών των ελλειμμάτων για όλους τους πρώτους \(p\le n\), καθώς το \(n\) γίνεται πολύ μεγάλο.

📜 Μια ιστορική διόρθωση

Το screenshot τοποθετεί το αποτέλεσμα του Dirichlet στο 1838. Η κλασική διατύπωση του προβλήματος των διαιρετών και η σχετική ασυμπτωτική εκτίμηση χρονολογούνται συνήθως στο 1849. Η αναφορά στο 1898 για το αποτέλεσμα του de la Vallée Poussin είναι συμβατή με τις ιστορικές πηγές.

✨ Το κοινό νήμα

Και στα δύο θεωρήματα, η \(\gamma\) μετρά μια μέση απόκλιση που δημιουργείται όταν μια ομαλή, συνεχής προσέγγιση συγκρίνεται με τη διακριτή αριθμητική των ακεραίων. Στον Dirichlet εμφανίζεται ανάμεσα στο αρμονικό άθροισμα και στον λογάριθμο· στον Poussin μέσα από τα σφάλματα στρογγυλοποίησης των πηλίκων \(n/p\).

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →