🔢 Το Μικρό Θεώρημα του Fermat – Μια Θεμελιώδης Ιδέα στη Θεωρία Αριθμών

🔢 Το Μικρό Θεώρημα του Fermat

Το Μικρό Θεώρημα του Fermat —που δεν πρέπει να συγχέεται με το περίφημο Τελευταίο Θεώρημα του Fermat— είναι ένα από τα βασικά αποτελέσματα της Θεωρίας Αριθμών.

Αναφέρει ότι, αν \(p\) είναι πρώτος αριθμός, τότε για κάθε ακέραιο αριθμό \(a\) ισχύει:

\[ \boxed{a^p\equiv a\pmod p} \]

Με άλλα λόγια, η διαφορά \(a^p-a\) διαιρείται ακριβώς με το \(p\):

\[ p\mid(a^p-a). \]

Μια δεύτερη, πολύ γνωστή μορφή

Αν επιπλέον ο \(p\) δεν διαιρεί τον ακέραιο \(a\), δηλαδή

\[ p\nmid a, \]

τότε το θεώρημα μπορεί να γραφτεί στη μορφή:

\[ \boxed{a^{p-1}\equiv1\pmod p} \]

Η δεύτερη διατύπωση προκύπτει από την πρώτη, αφού όταν \(p\nmid a\), ο αριθμός \(a\) έχει πολλαπλασιαστικό αντίστροφο modulo \(p\).

💡 Παράδειγμα

Για \(p=7\) και \(a=3\), έχουμε

\[ 3^6=729\equiv1\pmod7, \]

αφού

\[ 729=7\cdot104+1. \]

Η απλότητά του κρύβει μια πολύ ισχυρή ιδέα: όταν εργαζόμαστε modulo έναν πρώτο αριθμό, οι δυνάμεις των ακεραίων παρουσιάζουν μια αξιοσημείωτη κανονικότητα.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →