🧵 Fibonacci και χρυσή τομή: η αρμονία πίσω από την ακολουθία
Η ακολουθία Fibonacci ξεκινά με τους αριθμούς \(0\) και \(1\), ενώ κάθε επόμενος όρος είναι το άθροισμα των δύο προηγουμένων:
\[F_0=0,\qquad F_1=1,\qquad F_n=F_{n-1}+F_{n-2}.\]
\[0,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ldots\]
Οι διαδοχικοί λόγοι πλησιάζουν τη χρυσή τομή
Αν διαιρέσουμε κάθε όρο με τον αμέσως προηγούμενο, οι λόγοι εναλλάσσονται πάνω και κάτω από έναν συγκεκριμένο αριθμό και τον πλησιάζουν διαρκώς:
| Λόγος | Τιμή |
|---|---|
| \(F_3/F_2=2/1\) | 2 |
| \(F_4/F_3=3/2\) | 1,5 |
| \(F_5/F_4=5/3\) | 1,666666… |
| \(F_{10}/F_9=55/34\) | 1,617647… |
| \(F_{20}/F_{19}=6765/4181\) | 1,61803396… |
Το όριο είναι η χρυσή τομή
\[\phi=\frac{1+\sqrt5}{2}=1{,}6180339887\ldots\]
και επομένως
\[\lim_{n\to\infty}\frac{F_n}{F_{n-1}}=\phi.\]
Γιατί εμφανίζεται η χρυσή τομή;
Ας υποθέσουμε ότι οι διαδοχικοί λόγοι πλησιάζουν κάποιο θετικό όριο \(L\). Από την αναδρομική σχέση έχουμε
\[\frac{F_n}{F_{n-1}}=1+\frac{F_{n-2}}{F_{n-1}}=1+\frac{1}{F_{n-1}/F_{n-2}}.\]
Περνώντας στο όριο, προκύπτει
\[L=1+\frac1L\quad\Longrightarrow\quad L^2-L-1=0.\]
Η θετική λύση αυτής της εξίσωσης είναι ακριβώς \(L=\phi\).
Ο τύπος του Binet
Ο \(n\)-οστός αριθμός Fibonacci μπορεί να υπολογιστεί απευθείας, χωρίς να υπολογίσουμε όλους τους προηγούμενους. Ορίζουμε και τη δεύτερη ρίζα
\[\psi=\frac{1-\sqrt5}{2}=-\frac1\phi.\]
Τότε ισχύει ο ακριβής τύπος
\[\boxed{F_n=\frac{\phi^n-\psi^n}{\sqrt5}}.\]
Παρότι ο τύπος περιέχει τον άρρητο αριθμό \(\sqrt5\), το αποτέλεσμα είναι πάντοτε ακέραιος. Οι άρρητες ποσότητες αλληλοαναιρούνται ακριβώς.
Γιατί ισχύει ο τύπος του Binet;
Αναζητούμε λύσεις της αναδρομής \(F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\) της μορφής \(r^n\). Τότε
\[r^n=r^{n-1}+r^{n-2}\quad\Longrightarrow\quad r^2-r-1=0.\]
Οι δύο ρίζες είναι \(\phi\) και \(\psi\), άρα η γενική μορφή είναι
\[F_n=A\phi^n+B\psi^n.\]
Οι αρχικές συνθήκες \(F_0=0\) και \(F_1=1\) δίνουν \(A=1/\sqrt5\) και \(B=-1/\sqrt5\), οπότε προκύπτει ο τύπος του Binet.
Ένα ακόμη όμορφο αποτέλεσμα
Επειδή \(|\psi|<1\), ο όρος \(\psi^n/\sqrt5\) γίνεται πολύ μικρός. Έτσι ο \(F_n\) είναι ο πλησιέστερος ακέραιος στον αριθμό
\[\frac{\phi^n}{\sqrt5}.\]
Μια ιστορική διευκρίνιση
Η ακολουθία έγινε γνωστή στην ευρωπαϊκή μαθηματική παράδοση από το Liber Abaci του Leonardo της Πίζας —του Fibonacci— το 1202, μέσα από το περίφημο πρόβλημα των κουνελιών. Ωστόσο, αντίστοιχα αριθμητικά μοτίβα είχαν μελετηθεί νωρίτερα στην Ινδία, στο πλαίσιο της ανάλυσης ποιητικών μέτρων.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου